Pronaći sve kritične točke za ovu funkciju?

Odgovor:

#(0,-2)# je sedlo

#(-5,3)# je lokalni minimum

Obrazloženje:

Dobili smo #G (x, y) = 3x ^ 2 + + 6xy 2y ^ 3 + 12x 24y-#

Prvo, moramo pronaći točke gdje # (Delg) / (delx) # i # (Delg) / (odgodu) # oba jednaka 0.

# (Delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 #

# (Delg) / (odgodu) = 6x + 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# x + y + 2 = 0 #

# X = y-2 #

# -Y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# Y ^ 2-il-6-0 #

# (Y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 ili -2 #

# X = -3-2--5 #

# X = 2-2 = 0 #

Kritične točke se pojavljuju na #(0,-2)# i #(-5,3)#

Sada za klasificiranje:

Odrednica #F (x, y) # daje se pomoću #D (x, y) = (del ^ 2 g) / (delx ^ 2) (del ^ 2 g) / (odgodu ^ 2) - ((del ^ 2 g) / (delxy)) ^ 2 #

# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((delg) / (delx)) = (del / delx) (6x + 6y + 12) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (odgodu ^ 2) = del / (odgodu) ((delg) / (odgodu)) = (del / odgodu) (6x + 6y ^ 2-24) = 12y #

# (Del ^ 2 g) / (delxy) = del / (delx) ((delg) / (odgodu)) = (del / delx) (6x + 6y ^ 2-24) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (delyx) = del / (odgodu) ((delg) / (delx)) = (del / odgodu) (6x + 6y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

Od #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# je sedlo.

I od #D (-5,3)> 0 i (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# je lokalni minimum. (# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = 6 # tako da ne moramo raditi nikakve izračune).