Koji su ekstremi f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 + 10 na intervalu [-1,3]?

Odgovor:

Imamo minimum # X = 0 # i točku infleksije na # 3 x = #

Obrazloženje:

Maksime je visoka točka na koju se funkcija povećava, a zatim ponovno pada. Kao takav, nagib tangente ili vrijednost izvedenice u toj točki će biti nula.

Nadalje, budući da će tangente lijevo od maksimuma biti nagnute prema gore, zatim izravnavanje, a zatim padanje prema dolje, nagib tangente će se stalno smanjivati, tj. Vrijednost drugog derivata bi bila negativna.

Minimum na drugoj strani je niska točka na koju funkcija pada, a zatim ponovno raste. Kao takva, tangenta ili vrijednost derivata na minimumu također će biti nula.

No, kako će tangente lijevo od minima biti nagnute prema dolje, a zatim spuštanje i naginjanje prema gore, nagib tangente će se stalno povećavati ili će vrijednost drugog derivata biti pozitivna.

Ako je drugi derivat nula, imamo točku

Međutim, ovi maksimumi i minimumi mogu biti univerzalni, tj. Maksimumi ili minimumi za cijeli raspon ili mogu biti lokalizirani, tj. Maksimumi ili minimumi u ograničenom rasponu.

Pogledajmo to s obzirom na funkciju opisanu u pitanju i za to najprije izdvojimo #F (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Njezin prvi derivat je dat pomoću #F "(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * # 2 x

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Za to bi bilo nula # X ^ 2-9 = 0 # ili #x = + - 3 # ili #0#, Samo od toga #{0,3}# su unutar raspona #-1,3}#.

Stoga se maksimumi ili minimi javljaju na točkama # X = 0 # i # 3 x = #.

Da bismo pronašli da li je to maksimum ili minimum, pogledajmo drugi diferencijal koji je #F '(x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # i stoga

na # X = 0 #, #F '(x) = 486 # i pozitivan

na # 3 x = #, #F '(x) = 2430-2916 + 486 = 0 # i to je točka infleksije.

Dakle, imamo lokalni minimum na # X = 0 # i točku infleksije na # 3 x = #

, graf {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Odgovor:

Apsolutni minimum je #(-9)^3+10# (što se događa na #0#), apsolutni maksimum na intervalu je #10#, (što se događa na #3#)

Obrazloženje:

Pitanje ne navodi hoće li se pronaći relativni ili apsolutni ekstremi, pa ćemo pronaći i jedno i drugo.

Relativni ekstremi mogu se pojaviti samo kod kritičnih brojeva. Kritični brojevi su vrijednosti od #x# koje su u domeni # F # i na kojem #F "(x) = 0 # ili #f '(x) ne postoji. (Fermatova teorema)

Apsolutni ekstremi na zatvorenom intervalu mogu se pojaviti na kritičnim brojevima u intervalu ili na točkama intervala.

Budući da je ovdje zatražena funkcija kontinuirana #-1,3#Teorema ekstremne vrijednosti to nas uvjerava # F # mora imati i apsolutni minimum i apsolutni maksimum u intervalu.

Kritični brojevi i relativni ekstremi.

Za #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, pronašli smo #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Jasno, # F '# nikad ne postoji, tako da nema kritičnih brojeva te vrste.

Rješavanje # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # daje rješenja #-3#, #0#, i #3#.

#-3# nije u domeni ovog problema, #-1,3# pa trebamo samo provjeriti #F (0) # i #F (3) *

Za #x <0 #, imamo #f '(x) <0 # i

za #x> 0 #, imamo #f '(x)> 0 #.

Dakle, prvim testom izvedenica, #F (0) # je relativni minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Drugi kritični broj u intervalu je #3#, Ako zanemarimo ograničenje domene, to ćemo pronaći #f '(x)> 0 # za sve #x# blizu #3#, Dakle, funkcija se povećava na malim otvorenim intervalima koji sadrže #3#, Stoga, ako prestanemo na #3# pogodili smo najvišu točku u domeni.

Tamo je ne univerzalni dogovor da li to reći #F (3) = 10 # je relativni maksimum za tu funkciju #-1,3#.

Neki zahtijevaju vrijednost na obje strane da bi bili manji, drugi zahtijevaju da su vrijednosti u domeni na obje strane manje.

Apsolutni ekstremi

Stanje apsolutnih ekstrema na zatvorenom intervalu # A, b # mnogo je jednostavnije.

Pronađite kritične brojeve u zatvorenom intervalu. Nazovite # c_1, c_2 # i tako dalje.

Izračunajte vrijednosti #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # i tako dalje. Najveća vrijednost je apsolutni maixmum na intervalu, a najmanja vrijednost je apsolutni minimum na intervalu.

U ovom pitanju izračunavamo #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # i #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimum je #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # i

maksimum je #f (-3) = 10 #.