Krug A ima središte (6, 5) i površinu od 6 pi. Krug B ima središte (12, 7) i područje od 48 pi. Da li se krugovi preklapaju?

Odgovor:

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # i

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

možemo napraviti pravi trokut s kvadratima strana 48, 6 i 40, tako da se ti krugovi presijecaju.

Obrazloženje:

Zašto besplatan # Pi #?

Područje je #A = pi r ^ 2 # tako # R ^ 2 = A / pi. # Prvi krug ima radijus # R_1 = sqrt {6} # i drugi # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Centri su #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # odvojeno.

Dakle, krugovi se preklapaju ako #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

To je tako ružno da ti je oprošteno što si posegnuo za kalkulatorom. Ali to stvarno nije potrebno. Uzmimo zaobilaznicu i pogledajte kako se to radi pomoću Rational Trigonometry. Tamo smo samo zabrinuti za kvadratne dužine, zvane quadrances.

Recimo da želimo testirati ako su tri kvadranta # A, B, C # su kvadrati između tri kolinearne točke, tj. #sqrt {A} = sqrt {B} + {SQRT C} # ili #sqrt {B} = sqrt {A} + {sqrt C} # ili #sqrt {C} = sqrt {A} + {B} SQRT #, Napisat ćemo to kao

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

kvadriranje, #C = A + B 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Ponovno kvadriranje, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Ispada

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

je diskriminirajući za trokute. Upravo smo pokazali da #mathcal {A} = 0 # to znači da imamo a degenerirani trokut, formirana iz tri kolinearne točke. Ako #mathcal {A}> 0 # onda imamo a pravi trokut, svaka strana manje od zbroja druge dvije. Ako #mathcal {A} <0 # nemamo strane koje zadovoljavaju nejednakost trokuta, a ponekad to nazivamo i imaginarni trokut.

Vratimo se na naše pitanje naoružano novim diskriminantnim trokutom #mathcal {A} #, Ako se kružnice sijeku možemo napraviti trokut dvaju centara i sjecište, tako da će stranice imati duljine # R_1 #, # R_2 #, te udaljenost između središta #(6,5)# i #(12,7)#, Imamo

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # tako da imamo pravi trokut, tj. preklapajuće krugove.

Oh yeah, za bilo koji trokut #mathcal {A} = 16 (tekst {area}) ^ 2. #

Provjerite: Alfa

Krug A ima središte (3, 5) i površinu od 78 pi. Krug B ima središte na (1, 2) i površinu od 54 pi. Da li se krugovi preklapaju?

Da Prvo, trebamo udaljenost između dva centra, što je D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Sada nam je potreban zbroj radijusa, jer: D> (r_1 + r_2); "Krugovi se ne preklapaju" D = (r_1 + r_2); "Krugovi samo dodiruju" D <(r_1 + r_2); "Krugovi se preklapaju" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, tako da se krugovi preklapaju. Dokaz: graf {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54

Krug A ima središte na (1, 5) i područje od 24 pi. Krug B ima središte na (8, 4) i površinu od 66 pi. Da li se krugovi preklapaju?

Da, krugovi se preklapaju. Udaljenost od centra kruga A do središta kruga B = 5sqrt2 = 7.071 Zbroj njihovih radijusa je = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Bog blagoslovio .... Nadam se da je objašnjenje korisno ..

Krug A ima središte na (5, 8) i površinu od 18 pi. Krug B ima središte (3, 1) i područje od 27 pi. Da li se krugovi preklapaju?

Krugovi preklapaju udaljenost od centra do središta d = sqrt ((x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-y_b) ^ 2) d = sqrt ((5-3) ^ 2 + (8-1) ^ 2) d = sqrt (4 + 49) d = sqrt53 = 7.28011 Zbroj radijusa kruga A i B Sum = sqrt18 + sqrt27 Sum = 9.43879 Zbroj radijusa> udaljenost između centara zaključak: krugovi se preklapaju Bog blagoslovi .... Nadam se objašnjenje je korisno.