Krug A ima središte (3, 5) i površinu od 78 pi. Krug B ima središte na (1, 2) i površinu od 54 pi. Da li se krugovi preklapaju?

Odgovor:

Da

Obrazloženje:

Prvo, trebamo udaljenost između dva centra, a to je # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) *

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Sada nam je potreban zbroj radijusa, jer:

#D> (r_1 + r_2); "Krugovi se ne preklapaju" #

# D = (r_1 + r_2); "Krugovi jednostavno dodiruju" #

#D <(r_1 + r_2); "Krugovi se preklapaju" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, tako da se krugovi preklapaju.

Dokaz:

graf {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12.64}

Odgovor:

Oni se preklapaju ako #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Možemo preskočiti kalkulator i provjeriti # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # ili #4(13)(54) > 11^2# što je sigurno, tako da, preklapaju se.

Obrazloženje:

Područje kruga je naravno #pi r ^ 2 # tako da dijelimo besplatan # Pi #a.

Imamo kvadrat radijusa

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

i razmak između centara

# D ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Zapravo želimo znati je li # r_1 + r_2 ge d #ako možemo napraviti trokut iz dva polumjera i segment između centara.

Kvadratne duljine su svi lijepi brojevi i prilično je lud da svi instinktivno posegnemo za kalkulatorom ili računalom i počnemo uzimati četvrtaste korijene.

Ne moramo, ali to zahtijeva malo skretanja. Iskoristimo Heroninu formulu, nazovite područje # P #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # gdje # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((+ b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je već bolje nego Heron. Ali nastavljamo. Preskočit ću neke dosade.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je lijepo simetrično, kao što bismo očekivali za formulu područja. Učinimo ga manje simetričnim. Podsjetiti

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Dodavanje, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

To je formula za kvadratnu površinu trokuta s duljinom stranica. Kada su potonja racionalna, takva je i prva.

Pokušajmo. Slobodno možemo dodijeliti strane kako god želimo; za ručni izračun najbolje je napraviti # C # najveća strana, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Čak i prije nego je izračunamo više, možemo vidjeti da imamo pozitivan # 16Q ^ 2 # tako da pravi trokut s pozitivnim područjem, tako da se preklapaju krugovi.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Ako smo dobili negativnu vrijednost, imaginarno područje, to nije pravi trokut, pa se ne preklapaju krugovi.