Kako mogu pronaći integralni int (x * ln (x)) dx?

Integraciju ćemo koristiti po dijelovima.

Zapamtite formulu IBP-a koja jest

#int u dv = uv - int v du

pustiti #u = ln x #, i #dv = x dx #, Odabrali smo ove vrijednosti jer znamo da je derivat od #ln x # jednako je # 1 / x #, što znači da ćemo umjesto integriranja nečega kompleksnog (prirodni logaritam) na kraju integrirati nešto prilično lako. (polinom)

Tako, #du = 1 / x dx #, i #v = x ^ 2/2 #.

Uključivanje IBP-ove formule daje nam:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx #

#x# odjavit će se s novog integranda:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx #

Rješenje je sada lako pronaći pomoću pravila o snazi. Ne zaboravite konstantu integracije:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - x ^ 2/4 + C #

Kako mogu pronaći integralni int (ln (x)) ^ 2dx?

Naš cilj je smanjiti snagu ln x tako da je integralni lakše procijeniti. To možemo postići pomoću integracije po dijelovima. Imajte na umu formulu IBP: int u dv = uv - int v du Sada ćemo pustiti u = (lnx) ^ 2 i dv = dx. Dakle, du = (2lnx) / x dx i v = x. Sada, sastavljanje dijelova zajedno, dobivamo: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ovaj novi integral izgleda puno bolje! Pojednostavljenje malo, i donoseći konstantu ispred, donosi: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Sada, da se riješimo ovog sljedećeg integrala, izvršit ćemo drugu integraciju po dijelovima, ostavljajući u = ln x i dv = dx.

Kako mogu pronaći integralni int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Korištenje integracije po dijelovima, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Ne zaboravite da integracija po dijelovima koristi formulu: intu dv = uv - intv du Koji se temelji off pravilo proizvoda za derivate: uv = vdu + udv Za korištenje ove formule, moramo odlučiti koji će izraz biti u, a koji će biti dv. Koristan način za utvrđivanje pojma gdje je ILATE metoda. Inverse Trig Logarithms Algebra Trigon eksponencijalan To vam daje redoslijed prioriteta čiji se izraz koristi za "u", tako da ono što je preostalo postaje naš dv. Naša funkcija sadrži x ^ 2 i sinpix

Kako mogu pronaći integralni int (x * cos (5x)) dx?

Imat ćemo na umu formulu za integraciju po dijelovima, a to je: int u dv = uv - int v du Da bismo uspješno pronašli taj integral, u = x, i dv = cos 5x dx. Stoga je du = dx i v = 1/5 sin 5x. (v može se naći pomoću brze u-supstitucije) Razlog zašto sam izabrao x za vrijednost u je zato što znam da ću kasnije na kraju integrirati v pomnožen s derivatom u. Budući da je izvedenica od u samo 1, a budući da sama integracija trigonometrijske funkcije ne čini ga složenijim, učinkovito smo uklonili x iz integranga i samo sada moramo brinuti o sinusu. Dakle, uključivanjem u IBP-ovu formulu, dobivamo: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - i