Kako mogu pronaći integralni int (x * cos (5x)) dx?

Imat ćemo na umu formulu za integraciju po dijelovima, a to je:

#int u dv = uv - int v du

Pronaći ovaj integralni uspjeh dopustit ćemo #u = x #, i #dv = cos 5x dx #, Stoga, #du = dx # i #v = 1/5 sin 5x #. (# # V može se pronaći pomoću brzog # U #-substitution)

Razlog zbog kojeg sam izabrao #x# za vrijednost # U # je zato što znam da ću se kasnije integrirati # # V pomnoženo s # U #je derivat. Od derivata od # U # je samo #1#, a budući da sama integracija trigonometrijske funkcije ne čini ga složenijim, učinkovito smo uklonili #x# iz integranda i samo se sada morate brinuti za sinus.

Dakle, uključivanjem u IBP-ovu formulu, dobivamo:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Povlačenje #1/5# od integranta nam daje:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Integriranje sinusa može uzeti samo jedan # U #-substitution. Budući da smo već koristili # U # za formulu IBP-a koristit ću pismo # # Q umjesto:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Da biste dobili # 5 dx # unutar integranda umnožit ću integral drugom #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

I, zamjenjujući sve u smislu # # Q:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Znamo da je integralni #grijeh# je # -Cos #, tako da lako možemo završiti ovaj integralni dio. Zapamtite konstantu integracije:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Sada ćemo jednostavno zamijeniti natrag # # Q:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

A tu je i naš integral.

Kako mogu pronaći integralni int (ln (x)) ^ 2dx?

Naš cilj je smanjiti snagu ln x tako da je integralni lakše procijeniti. To možemo postići pomoću integracije po dijelovima. Imajte na umu formulu IBP: int u dv = uv - int v du Sada ćemo pustiti u = (lnx) ^ 2 i dv = dx. Dakle, du = (2lnx) / x dx i v = x. Sada, sastavljanje dijelova zajedno, dobivamo: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ovaj novi integral izgleda puno bolje! Pojednostavljenje malo, i donoseći konstantu ispred, donosi: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Sada, da se riješimo ovog sljedećeg integrala, izvršit ćemo drugu integraciju po dijelovima, ostavljajući u = ln x i dv = dx.

Kako mogu pronaći integralni int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Korištenje integracije po dijelovima, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Ne zaboravite da integracija po dijelovima koristi formulu: intu dv = uv - intv du Koji se temelji off pravilo proizvoda za derivate: uv = vdu + udv Za korištenje ove formule, moramo odlučiti koji će izraz biti u, a koji će biti dv. Koristan način za utvrđivanje pojma gdje je ILATE metoda. Inverse Trig Logarithms Algebra Trigon eksponencijalan To vam daje redoslijed prioriteta čiji se izraz koristi za "u", tako da ono što je preostalo postaje naš dv. Naša funkcija sadrži x ^ 2 i sinpix

Kako mogu pronaći integralni int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Ovaj integralni dio zahtijeva integraciju dijelova. Imajte na umu formulu: int u dv = uv - int v du Neka je u = x, i dv = e ^ (- x) dx. Stoga, du = dx. Pronalaženje v zahtijevat će u-zamjenu; Ja ću koristiti slovo q umjesto u jer smo već koristeći u u integraciji po dijelovima formula. v = int e ^ (- x) dx neka q = -x. dq = -dx Ponovno ćemo sastaviti integral, dodajući dva negativa kako bi se smjestio dq: v = -int -e ^ (- x) dx Pisan u smislu q: v = -int e ^ (q) dq Stoga, v = -e ^ (q) Zamjena za q daje nam: v = -e ^ (- x) Sada, osvrćući se na IBP