Kako mogu pronaći integralni int (ln (x)) ^ 2dx?

Naš je cilj smanjiti moć #ln x # tako da je integral lakše procijeniti.

To možemo postići pomoću integracije po dijelovima. Imajte na umu formulu IBP:

#int u dv = uv - int v du

Sada ćemo pustiti #u = (lnx) ^ 2 #, i #dv = dx #.

Stoga, #du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Sada, skupljajući dijelove, dobivamo:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Ovaj novi integral izgleda puno bolje! Pojednostavljivanje i postizanje konstantnog napredka donosi:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Sada, kako bi se riješili ovog sljedećeg integralnog dijela, izvršit ćemo drugu integraciju dijelovima, dopuštajući #u = ln x # i #dv = dx #.

Tako, #du = 1 / x dx # i #v = x #.

Sastavljanje nam daje:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Sve što je ostalo je pojednostavniti, imajući na umu dodavanje konstante integracije:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

I tu je imamo. Zapamtite, integracija po dijelovima je sve o branju # U # tako da se neuredne stvari eliminiraju iz integranda. U ovom slučaju donijeli smo # (ln x) ^ 2 # do #ln x #, a zatim prema dolje # 1 / x #, Na kraju, neki #x#je otkazano i postalo je lakše integrirati se.

Kako mogu pronaći integralni int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Korištenje integracije po dijelovima, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Ne zaboravite da integracija po dijelovima koristi formulu: intu dv = uv - intv du Koji se temelji off pravilo proizvoda za derivate: uv = vdu + udv Za korištenje ove formule, moramo odlučiti koji će izraz biti u, a koji će biti dv. Koristan način za utvrđivanje pojma gdje je ILATE metoda. Inverse Trig Logarithms Algebra Trigon eksponencijalan To vam daje redoslijed prioriteta čiji se izraz koristi za "u", tako da ono što je preostalo postaje naš dv. Naša funkcija sadrži x ^ 2 i sinpix

Kako mogu pronaći integralni int (x * cos (5x)) dx?

Imat ćemo na umu formulu za integraciju po dijelovima, a to je: int u dv = uv - int v du Da bismo uspješno pronašli taj integral, u = x, i dv = cos 5x dx. Stoga je du = dx i v = 1/5 sin 5x. (v može se naći pomoću brze u-supstitucije) Razlog zašto sam izabrao x za vrijednost u je zato što znam da ću kasnije na kraju integrirati v pomnožen s derivatom u. Budući da je izvedenica od u samo 1, a budući da sama integracija trigonometrijske funkcije ne čini ga složenijim, učinkovito smo uklonili x iz integranga i samo sada moramo brinuti o sinusu. Dakle, uključivanjem u IBP-ovu formulu, dobivamo: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - i

Kako mogu pronaći integralni int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Ovaj integralni dio zahtijeva integraciju dijelova. Imajte na umu formulu: int u dv = uv - int v du Neka je u = x, i dv = e ^ (- x) dx. Stoga, du = dx. Pronalaženje v zahtijevat će u-zamjenu; Ja ću koristiti slovo q umjesto u jer smo već koristeći u u integraciji po dijelovima formula. v = int e ^ (- x) dx neka q = -x. dq = -dx Ponovno ćemo sastaviti integral, dodajući dva negativa kako bi se smjestio dq: v = -int -e ^ (- x) dx Pisan u smislu q: v = -int e ^ (q) dq Stoga, v = -e ^ (q) Zamjena za q daje nam: v = -e ^ (- x) Sada, osvrćući se na IBP