Korištenje integracije po dijelovima,
# Intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Zapamtite da Integracija po dijelovima koristi formulu:
# Intu # # Dv # =#uv - intv # # Du #
Na temelju pravila o proizvodima za derivate:
#uv = vdu + udv #
Da bismo koristili ovu formulu, moramo odlučiti koji će termin biti
Inverzni Trig
logaritmi
Algebra
Trigonometrija
Exponentials
To vam daje redoslijed prioriteta za koji se izraz upotrebljava "
Sada imamo:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
Sljedeće stavke koje su nam potrebne u formuli su:
Derivat se dobiva korištenjem pravila moći:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Za integral možemo koristiti supstituciju.
koristeći
Sada imamo:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / jal) cospix #
Uključivanje u našu originalnu formulu Integracija po dijelovima, imamo:
# Intu # # Dv # =#uv - intv # # Du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Sada smo ostali s još jednim integralom koji još jednom moramo koristiti Integration by Parts kako bismo ga riješili. Povlačenjem
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Ovaj posljednji integral možemo riješiti posljednjom rundom zamjene, dajući nam:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Stavljajući sve što smo pronašli zajedno, sada imamo:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
Sada možemo pojednostaviti negativne i zagrade kako bismo dobili konačni odgovor:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Ključno je zapamtiti da ćete završiti s dodavanjem ili oduzimanjem lanca s više pojmova. Vi kontinuirano dijelite integralni dio na manje, upravljive dijelove koje morate pratiti za konačni odgovor.
Kako mogu pronaći integralni int (ln (x)) ^ 2dx?
Naš cilj je smanjiti snagu ln x tako da je integralni lakše procijeniti. To možemo postići pomoću integracije po dijelovima. Imajte na umu formulu IBP: int u dv = uv - int v du Sada ćemo pustiti u = (lnx) ^ 2 i dv = dx. Dakle, du = (2lnx) / x dx i v = x. Sada, sastavljanje dijelova zajedno, dobivamo: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ovaj novi integral izgleda puno bolje! Pojednostavljenje malo, i donoseći konstantu ispred, donosi: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Sada, da se riješimo ovog sljedećeg integrala, izvršit ćemo drugu integraciju po dijelovima, ostavljajući u = ln x i dv = dx.
Kako mogu pronaći integralni int (x * cos (5x)) dx?
Imat ćemo na umu formulu za integraciju po dijelovima, a to je: int u dv = uv - int v du Da bismo uspješno pronašli taj integral, u = x, i dv = cos 5x dx. Stoga je du = dx i v = 1/5 sin 5x. (v može se naći pomoću brze u-supstitucije) Razlog zašto sam izabrao x za vrijednost u je zato što znam da ću kasnije na kraju integrirati v pomnožen s derivatom u. Budući da je izvedenica od u samo 1, a budući da sama integracija trigonometrijske funkcije ne čini ga složenijim, učinkovito smo uklonili x iz integranga i samo sada moramo brinuti o sinusu. Dakle, uključivanjem u IBP-ovu formulu, dobivamo: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - i
Kako mogu pronaći integralni int (x * e ^ -x) dx?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Ovaj integralni dio zahtijeva integraciju dijelova. Imajte na umu formulu: int u dv = uv - int v du Neka je u = x, i dv = e ^ (- x) dx. Stoga, du = dx. Pronalaženje v zahtijevat će u-zamjenu; Ja ću koristiti slovo q umjesto u jer smo već koristeći u u integraciji po dijelovima formula. v = int e ^ (- x) dx neka q = -x. dq = -dx Ponovno ćemo sastaviti integral, dodajući dva negativa kako bi se smjestio dq: v = -int -e ^ (- x) dx Pisan u smislu q: v = -int e ^ (q) dq Stoga, v = -e ^ (q) Zamjena za q daje nam: v = -e ^ (- x) Sada, osvrćući se na IBP