Kako testirate za konvergenciju za 1 / ((2n + 1)!)?

Odgovor:

U slučaju da ste mislili "testirajte konvergenciju." niz: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

Odgovor je: on #COLOR (plava) "konvergira" #

Obrazloženje:

Da bismo to otkrili, možemo upotrijebiti test omjera.

To jest, ako # "U" _ "n" # je # N ^ "th" # ovog niza

Onda, ako to pokažemo #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" 1) / "U" _n) <1 #

to znači da se serija konvergira

S druge strane ako #lim_ (nrarr + oo) abs (("U" _ ("n" + 1)) / "U" _n)> 1 #

to znači da se serija razilazi

U našem slučaju

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# i

# "U" _ ("n" 1) = 1 / (2- (n + 1) + 1!) = 1 / (2n + 3!) #

Stoga, # "U" _ ("n" 1) / "U" _n = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

#"Primijeti da":#

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)! #

Baš kao: # 10! = 10xx9xx8! #

Mi oduzimamo #1# svaki put da biste dobili sljedeći

Tako smo, # "U" _ ("n" 1) / "U" _n = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) *

Sljedeće testiramo, #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" 1) / "U" _n) #

# = Lim_ (nrarr + oo) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4N ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # i #0# je manje od #1#

Stoga je sasvim sigurno zaključiti da je serija #color (plava) "konvergira"! #

Koristite Ratio Test kako biste pronašli konvergenciju sljedećih serija?

Serija je divergentna, jer je granica tog omjera> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3) (n + 1)) = 4/3> 1 Neka je a_n n-ti izraz ovog niza: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Zatim a_ (n + 1) ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Uzimajući granicu tog omjera l

Kako odrediti konvergenciju ili divergenciju niza an = ln (n ^ 2) / n?

Redoslijed konvergira Da bismo pronašli da li je slijed a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n konvergira, promatramo što je a_n kao n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n pomoću l'Hôpitalovog pravila, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Budući da je lim_ (n-> oo) a_n konačna vrijednost, slijed se konvergira.

Kako testirate za konvergenciju za sumu (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) za k = 1 do beskonačnosti?

Serija apsolutno konvergira. Prvo primijetite da: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 za k = 1 ... oo i (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 za k = 1 ... oo Stoga, ako sum5 / k ^ 3 konvergira tako će zbroj (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 jer će biti manje od novog izraza (i pozitivno). To je p serija s p = 3> 1. Stoga se serija apsolutno konvergira: Više informacija potražite na http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html.