Kako riješiti za inte ^ xcosxdx?

Odgovor:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Obrazloženje:

# I = int e ^ x cos (x) t

Koristit ćemo integraciju dijelovima, što navodi #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Koristite integraciju po dijelovima, s # V = e ^ x #, # du = e ^ x, # "d" v = cos (x), i # V = sin (x) *:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) t

Koristite integraciju po dijelovima ponovno do drugog integrala, s # V = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x), i # V = -cos (x) *:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) t

Sada, prisjetimo se, definirali smo # I = int e ^ x cos (x) t, Dakle, gornja jednadžba postaje sljedeća (prisjećajući se dodavanja konstante integracije):

# I-e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) = C = e x ^ (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Korištenje de Moivreovog identiteta

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # imamo

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

ali #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

i konačno

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #