Bez uporabe riješiti funkciju kalkulatora kako riješiti jednadžbu: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Odgovor:

Nule su # X = 5 #, # x = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

Obrazloženje:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

To nam je rečeno # (X-5), # je čimbenik, stoga ga odvojite:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

To nam je rečeno # (X + 2) * također je čimbenik, stoga odvojite:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Diskriminant preostalog kvadratnog faktora je negativan, ali još uvijek možemo koristiti kvadratnu formulu za pronalaženje kompleksnih korijena:

# X ^ 2-2x + 3 # je u obliku # X ^ 2 + bx + c # s # A = 1 #, # B = -2 # i # c = 3 #.

Korijeni su dani kvadratnom formulom:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3)) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + 2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Pokušajmo ne znajući to # (X-5), # i # (X + 2) * su čimbenici.

Stalni termin jednak je korijenskom proizvodu, dakle

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Taj je koeficijent cjelobrojna vrijednost čiji su faktori #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Pokušavajući te vrijednosti možemo to vidjeti

#p (-2) = p (5) = 0 # dobivanje dva korijena.

Možemo predstaviti polinom kao

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x - 5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Izračunavajući desnu stranu i uspoređujući obje strane dobivamo

# -5-a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Rješavanje za # (A, b) # dobivamo # A = -2, b = 3 #

Ocjenjivanje korijena # X ^ 2-2x + 3 = 0 # dobivamo # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #