Kako to proširiti u Maclaurinovoj seriji? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / TDT

Odgovor:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n 1) ^ 2 #

Vizualno: Pogledajte ovaj grafikon

Obrazloženje:

Jasno je da ne možemo procijeniti ovaj integralni, jer koristi bilo koju od redovnih tehnika integracije koje smo naučili. Međutim, budući da je definitivni integral, možemo koristiti MacLaurinovu seriju i činiti ono što se naziva pojam integracija.

Morat ćemo pronaći seriju MacLaurin. Budući da ne želimo naći n-ov derivat te funkcije, morat ćemo ga pokušati uklopiti u jednu od MacLaurinovih serija koje već znamo.

Prvo, ne volimo # Dnevnik #; želimo to učiniti a # LN #, Da bismo to učinili, jednostavno možemo upotrijebiti promjenu osnovne formule:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Dakle, imamo:

# Int_0 ^ xln (1-t) / (TLN (10)) dt #

Zašto to radimo? Pa, sada to primijetite # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Zašto je to tako posebno? Dobro, # 1 / (1-X) * je jedna od najčešće korištenih serija MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…za sve #x# na #(-1, 1#

Dakle, ovaj odnos možemo iskoristiti u svoju korist i zamijeniti #ln (1-t) # s # Int-1 / (1-t) dt #, što nam omogućuje da to zamijenimo # LN # pojam s MacLaurin serijom. Stavljanje zajedno daje:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Vrednovanje integralnog:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Otkazivanje # T # izraz u nazivniku:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

A sada uzimamo definitivni integralni problem s:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Bilješka: Promatrajte kako sada ne trebamo brinuti o podjeli na nulu u ovom problemu, što je problem koji bismo imali u izvornom integrandu zbog # T # pojam u nazivniku. Budući da je to otkazano u prethodnom koraku, to pokazuje da je diskontinuitet izmjenjiv, što nam dobro ide.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # ocijenjeno od #0# do #x#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Pobrinite se da shvatite, međutim, da je ova serija dobra samo u intervalu #(1, 1#, budući da je MacLaurinov niz koji smo koristili gore samo konvergentan u ovom intervalu. Pogledajte ovaj grafikon kako bih bolje shvatio kako to izgleda.

Nadam se da je to pomoglo:)