Kako pronaći int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx koristeći djelomične frakcije?

Odgovor:

Pokušavate podijeliti racionalnu funkciju u sumu koja će se stvarno lako integrirati.

Obrazloženje:

Kao prvo: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Dekompozicija djelomične frakcije omogućuje vam da to učinite:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # s # a, b u RR # koje morate pronaći.

Da biste ih pronašli, morate pomnožiti obje strane s jednim od polinoma na lijevoj strani jednakosti. Pokazujem vam jedan primjer, drugi koeficijent se nalazi na isti način.

Naći ćemo # S #: sve moramo pomnožiti #x# kako bi drugi koeficijent nestao.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) ako je 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 od -1 = a #

Vi činite istu stvar da biste pronašli # B # (sve množite # (X-1) # onda odaberete #x = 1 #), i to saznate #b = 1 #.

Tako # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, što implicira da #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs x-1) - lnabsx #