Kako pronaći int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx koristeći djelomične frakcije?

Odgovor:

Pokušavate podijeliti racionalnu funkciju u sumu koja će se stvarno lako integrirati.

Obrazloženje:

Kao prvo: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Dekompozicija djelomične frakcije omogućuje vam da to učinite:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # s # a, b u RR # koje morate pronaći.

Da biste ih pronašli, morate pomnožiti obje strane s jednim od polinoma na lijevoj strani jednakosti. Pokazujem vam jedan primjer, drugi koeficijent se nalazi na isti način.

Naći ćemo # S #: sve moramo pomnožiti #x# kako bi drugi koeficijent nestao.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) ako je 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 od -1 = a #

Vi činite istu stvar da biste pronašli # B # (sve množite # (X-1) # onda odaberete #x = 1 #), i to saznate #b = 1 #.

Tako # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, što implicira da #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs x-1) - lnabsx #

Kako integrirati int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) koristeći djelomične frakcije?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Moramo pronaći A, B, C tako da 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) za sve x. Pomnožite obje strane s x ^ 2 (2x-1) da biste dobili 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Izjednačujući koeficijenti daju nam {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} I tako imamo A = -2, B = -1, C = 4. Zamjenjujući ovo u početnu jednadžbu, dobivamo 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Sada ga integriramo izrazom pojma int t (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx da dobijemo 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

Kako integrirati int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) koristeći djelomične frakcije?

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x

Kako integrirati int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2 koristeći djelomične frakcije?

Int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o Postavite jednadžbu za rješavanje varijabli A, B, C int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2) dx Prvo riješimo za A, B, C (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 LCD = (x-1) (x + 1) ^ 2 (4 x ^ 2 + 6 x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x 1) (x + 1) ^ 2) Pojednostavite (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B ( x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x +