Što je derivat f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Postupak:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Prvo ćemo prepisati jednadžbu u obliku s kojim je lakše raditi.

Uzmi kosekant s obje strane:

2.) #csc y = x #

Prepisati u smislu sine:

3.) # 1 / siny = x #

Riješite za # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Sada bi uzimanje derivata trebalo biti lakše. Sada je samo pitanje lančanog pravila.

Mi to znamo # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (ovdje se nalazi dokaz tog identiteta)

Dakle, uzmite izvedenicu vanjske funkcije, a zatim pomnožite izvedenicu od # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Derivacija od # 1 / x # je isto kao i izvedenica od #x ^ (- 1) *:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Pojednostavljivanje 8. daje nam:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Da bi izjava bila malo ljepša, možemo donijeti kvadrat od # X ^ 2 # unutar radikala, iako to nije potrebno:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Pojednostavljivanje prinosa:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

I tu je naš odgovor. Zapamtite, problemi derivata koji uključuju inverzne trigonometrije uglavnom su vježba u vašem znanju o trigonometrijskim identitetima. Koristite ih kako biste podijelili funkciju u oblik koji je lako razlikovati.