X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorise)?

Odgovor:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alfa + bar (a)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (a)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alfa + omegabar (alfa x)) + 2) *

kao što je opisano u nastavku …

Obrazloženje:

Upozorenje:

Taj odgovor može biti napredniji nego što se od vas očekuje.

Bilješke

Moguće je pojednostavniti i pronaći:

# alpha + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ alfa + omegabar (alfa) = -1

ali mi (još) nije jasno kako najbolje to učiniti.

Odgovor:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) *

Obrazloženje:

Ovo je jednostavniji način …

S obzirom na:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Potražite faktorizaciju obrasca:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (a + P + y) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (a + P + y) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + + betagamma gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (a + P + y) x + 8 #

Izjednačujući koeficijenti nalazimo:

# {(alfa + beta + gama = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Tako #alpha, beta, gama # su nule kubnog:

# (X-alfa) (x-beta) (x-y) #

# = X ^ 3- (alfa + beta + y) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6x + 5 #

Imajte na umu da je zbroj koeficijenata ovog kubika #0#, To je #1-6+5 = 0#.

Stoga # X = 1 # je nula i # (X-1) # faktor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Nule preostalog kvadratnog mogu se pronaći pomoću kvadratne formule kao:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Tako # {alpha, beta, gama} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Tako:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) *

Bonus

Možemo li generalizirati gornju izvedbu?

# X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = X ^ 6 + (a + P + y) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (a + P + y) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (a + P + y) x + q ^ 3 #

Izjednačavanje koeficijenata:

# {(alfa + beta + gama = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Stoga #alpha, beta, gama # su nule od:

# X ^ 3-3qx-p #

Dakle, ako možemo pronaći tri prave nule ove kubike, tada imamo faktorizaciju sekstika # X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # u tri kvadratne s realnim koeficijentima.