Kako integrirati int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx djelomičnim frakcijama?

Odgovor:

# 4ln (aps (x + 2)) + 2ln (aps (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Obrazloženje:

Dakle, prvo pišemo ovo:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Dodatkom dobivamo:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + c)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) *

# 6x ^ 2 + 13x + 6-A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

koristeći # x = -2 # daje nam:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + = 6 A (1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Zatim upotrijebite # x = 1 # daje nam:

# 6 (1) ^ 2 + 13 (1) + = 6 C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) 1) #

Sada koristite # X = 0 # (može se koristiti bilo koja vrijednost koja nije upotrijebljena):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1-1 #

# B-2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) 1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# Int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ = 2dx 4ln (aps (x + 2)) + 2ln (aps (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2dx #

Ostavio sam ovo tako da možemo raditi na njemu odvojeno.

Imamo # - (x + 1) ^ - 2 #, Znamo da nam daje pravilo lanca # D / dx f (x) ^ n = NF (x) ^ (n-1) f "(x) *, Upravo jesmo # - (x + 1) ^ - 2 #, Dakle #F (x) * mora biti # (X + 1) ^ - 1 #

# D / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# Int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ = 2dx 4ln (aps (x + 2)) + 2ln (aps (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Kako izražavate (x² + 2) / (x + 3) u djelomičnim frakcijama?

X / 1 + {-3x + 2} / {x + 3} jer je gornji kvadratičan i dno linearno tražite nešto ili oblik A / 1 + B / (x + 3), bili su A i B obje će biti linearne funkcije od x (kao 2x + 4 ili slično). Znamo da jedno dno mora biti jedno, jer je x + 3 linearno. Počinjemo s A / 1 + B / (x + 3). Zatim primjenjujemo standardna pravila za dodavanje frakcija. Tada moramo doći do zajedničke baze. To je kao numeričke frakcije 1/3 + 1/4 = 3/12 + 4/12 = 7/12. A / 1 + B / (x + 3) => {A * (x + 3)} / {1 * (x + 3)} + B / (x + 3) = {A * (x + 3) + B} / {x + 3}. Tako smo dobili dno automatski. Sada postavimo A * (x + 3) + B = x ^ 2 + 2 Ax + 3A + B =

Kako izražavate (-2x-3) / (x ^ 2-x) u djelomičnim frakcijama?

{-2 * x-3} / {x ^ 2-x} = {- 5} / {x-1} + 3 / x Počinjemo s {-2 * x-3} / {x ^ 2-x} Prvo faktor dna da dobijemo {-2 * x-3} / {x (x-1)}. Imamo kvadratno na dnu i linearno na vrhu to znači da tražimo nešto od oblika A / {x-1} + B / x, gdje su A i B stvarni brojevi. Počevši od A / {x-1} + B / x, koristimo pravila dodavanja frakcija kako bismo dobili {A * x} / {x (x-1)} + {B * (x-1)} / {x (x -1)} = {A * x + Bx-B} / {x (x-1)} Postavili smo to jednako našoj jednadžbi {(A + B) xB} / {x (x-1)} = {- * 2 x 3} / {x (x-1)}. Iz toga možemo vidjeti da su A + B = -2 i -B = -3. Završavamo s B = 3 i A + 3 = -2 ili A = -5. Dakle, imamo {-5} /