Što je ortocentar trokuta s kutovima u (9, 5), (3, 8) i (5, 6)?

Odgovor:

Koraci: (1) pronađite nagibe 2 strane, (2) pronađite kosine pravaca okomitih na te strane, (3) pronađite jednadžbe linija s onim kosinama koje prolaze kroz suprotne vrhove, (4) pronađite mjesto gdje se te crte sijeku, što je orthocenter, u ovom slučaju #(6.67, 2.67)#.

Obrazloženje:

Da bismo pronašli ortocentar trokuta nalazimo kosine (gradijente) dviju njegovih strana, zatim jednadžbe pravaca okomitih na te strane.

Možemo koristiti te kosine plus koordinate točke nasuprot relevantne strane kako bismo pronašli jednadžbe pravaca okomitih na strane koje prolaze kroz suprotni kut: one se nazivaju 'visinama' za strane.

Tamo gdje se visine za dvije strane križaju ortocentar (nadmorska visina treće strane također bi prolazila kroz tu točku).

Označimo naše točke kako bismo ih lakše uputili:

Točka A = #(9, 5)#

Točka B = #(3, 8)#

Točka C = #(5, 6)#

Da biste pronašli nagib, koristite formulu:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Međutim, ne želimo ove padine, već padine linija koje su okomite (pod pravim kutom) prema njima. Crta okomita na pravac s nagibom # M # ima nagib # -1 / m #, tako da je pravac okomit na # AB # ima nagib #-2# i crta okomita na #PRIJE KRISTA# ima nagib #1#.

Sada možemo pronaći jednadžbe visina točke C (nasuprot AB) i točke A (nasuprot BC) odnosno zamjenom koordinata tih točaka u jednadžbu.

# Y = x + C #

Za točku C visina je:

# 6 = -2 (5) + c # koji daje # C = 6 + 10 = 16 # stoga #y = -2x + 16 #

Slično tome, za točku A:

# 5-1 (9) + C # koji daje # c = 5-9 = -4 # tako je jednadžba:

# y = x-4 #

Da bismo pronašli ortocentar, jednostavno moramo pronaći točku gdje se ove dvije linije križaju. Možemo ih izjednačiti:

# -2 x + 16 = x-4 #

preraspodjela, # 3x = 20 do x ~ 6,67 #

Zamijenite bilo koju jednadžbu kako biste pronašli # Y # vrijednost, što je #2.67#.

Stoga je ortocentar točka #(6.67, 2.67)#.