Kako pronaći derivat y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Odgovor:

# Dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Obrazloženje:

Koristite pravilo proizvoda:

Ako # Y = f (x) g (x) *, onda

# Dy / dx = f '(x) g (x) + g' (x) f (x) #

Tako, #F (x) = sin ^ 2x #

#G (x) = cos ^ 2x #

Koristite pravilo lanca za pronalaženje oba izvedenica:

Sjetite se toga # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

#F "(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx #

#G "(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx #

Tako, # Dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (grijeh ^ 2x-cos ^ 2x) #

Postoji identitet koji # 2sinxcosx = sin2x #, ali taj je identitet više zbunjujući nego koristan kada se pojednostavljuju odgovori.

Odgovor:

Postoji nešto što čini odgovor mnogo jednostavnijim.

Obrazloženje:

Također se možete sjetiti toga #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, otuda novi izraz funkcije.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2 x) / 4 # što je mnogo lakše izvesti (1 kvadrat umjesto 2).

Derivacija od # U ^ n # je # N * u'u ^ (n-1) # i derivat od #sin (2x) # je # 2cos (2x) #

Tako #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

Prednost tih trigonometrijskih identiteta je za fizičare, oni mogu pronaći svaki dio informacije u valu koji ta funkcija predstavlja. Oni su također vrlo korisni kada morate pronaći primitive trigonometrijskih funkcija.