Kako pronaći derivat od (cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x))?

Odgovor:

# Sin2xcos2x #

Obrazloženje:

U ovoj vježbi moramo primijeniti: dva svojstva

derivat proizvoda:

#COLOR (crveno) ((uv) = u '(x) v (x) + v' (X) u (x)) *

Izvod snage:

#COLOR (plava) ((^ n u (x)) = n (u) ^ (n-1), (x) u "(x)) *

U ovoj vježbi neka:

#COLOR (smeđe) (u (x) = cos ^ 2 (x)) *

#COLOR (plava) (u "(x) = 2cosxcos'x) #

#U "(x) = - 2cosxsinx #

Poznavanje trigonometrijskog identiteta koji kaže:

#COLOR (zeleno) (sin2x = 2sinxcosx) #

#U '(x) = - boja (zelena) (sin2x) #

Neka:

#COLOR (smeđe) (v (x) = sin ^ 2 (x)) *

#COLOR (plava) (v (x) = 2sinxsin'x) #

#v "(x) = 2sinxcosx #

#v '(x) = boja (zelena) (sin2x) #

Tako, # (Cos ^ 2xsin ^ 2x) #

# = Boja (crvena) ((uv) #

# = Boja (crvena) (u '(x) v (x) + v' (X) u (x)) *

# = (- sin2x) (sin ^ 2x) + sin (2 x) cos ^ 2x #

# = Sin2x (cos ^ 2x-sin ^ 2x) #

Poznavanje trigonometrijskog identiteta koji kaže:

#COLOR (zeleno) (cos2x = cos ^ 2 x-sin ^ 2x) #

Stoga, # (Cos ^ 2xsin ^ 2x) = sin2xcos2x #

Pokazati da cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Malo sam zbunjen ako napravim Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), postat će negativan kao cos (180 ° -teta) = - costheta u drugi kvadrant. Kako mogu dokazati pitanje?

Pogledajte dolje. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Kako pronaći derivat y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Koristite pravilo proizvoda: Ako je y = f (x) g (x), dy / dx = f '(x) g (x) + g' ( x) f (x) Dakle, f (x) = sin ^ 2x g (x) = cos ^ 2x Koristite pravilo lanca da pronađete oba derivata: Sjetite se da d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx g' (x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx Dakle, dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) = > -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Postoji identitet koji 2sinxcosx = sin2x, ali taj identitet je više zbunjujući nego koristan kada pojednostavljuje odgovore.

Kako pronaći derivat G (x) = (4-cos (x)) / (4 + cos (x))?

(8sinx) / (4 + cosx) ^ 2 Derivat kvocijenta definira se na sljedeći način: (u / v) '= (u'v-v'u) / v ^ 2 Dopustiti u = 4-cosx i v = 4 + cosx Znajući da je boja (plava) ((d (cosx)) / dx = -sinx) Nađimo u 'i v' u '= (4-cosx)' = 0-boja (plava) ((- sinx) =) = sinx v '= (4 + cosx)' = 0 + boja (plava) ((- sinx)) = - sinx G '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 G' (x) = (sinx (4 + cosx) - (- sinx) (4-cosx)) / (4 + cosx) ^ 2 G '(x) = (4sinx + sinxcosx + 4sinx-sinxcosx) / (4 + cosx) ) ^ 2 G '(x) = (8sinx) / (4 + cosx) ^ 2