Koja je domena i raspon f (x) = (x + 9) / (x-3)?

Odgovor:

Domena: # Mathbb {R} setminus {3} #

raspon: # Mathbb {R} #

Obrazloženje:

Domena

Domena funkcije je skup točaka u kojima je funkcija definirana. Sa numeričkom funkcijom, kao što vjerojatno znate, neke operacije nisu dopuštene - naime podjela po #0#, logaritmi ne-pozitivnih brojeva, pa čak i korijeni negativnih brojeva.

U vašem slučaju nemate logaritama niti korijena, tako da morate brinuti samo o nazivniku. Prilikom nametanja #x - 3, naći ćete rješenje #x, Dakle, domena je skup svih realnih brojeva, osim #3#, koje možete pisati kao # Mathbb {R} setminus {3} # ili u obliku intervala # (- oštar, 3) (3, duboko) #

opseg

Raspon je interval čiji su ekstremi najniže i najviše moguće vrijednosti koje funkcija ostvaruje. U ovom slučaju već primjećujemo da naša funkcija ima točku nedefiniranja, koja dovodi do vertikalne asimptote. Kada se približavate okomitim asimptotama, funkcije se razlikuju prema # -Infty # ili # Infty #, Proučimo što se događa # 3 x = #: ako uzmemo u obzir lijevu granicu koju imamo

#lim_ {x 3 frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ = - t

Zapravo, ako #x# pristupi #3#, ali je još uvijek manje od #3#, # x-3 # bit će nešto manje od nule (mislim, na primjer, na #x# pretpostavljajući vrijednosti poput #2.9, 2.99, 2.999,…#

Po istoj logici, #lim_ {x na 3 ^ +} frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ +} = dubinski #

Budući da funkcija pristupa oboje # -Infty # i # Infty #, raspon je # (- oštar, zamršen) #, što je naravno jednako cijelom skupu stvarnih brojeva # Mathbb {R} #.

Odgovor:

#x u (-oo, 3) uu (3, oo) #

#y u (-oo, 1) uu (1, oo) #

Obrazloženje:

Nazivnik f) x) ne može biti nula jer bi to učinilo f (x) nedefiniranim. Izjednačavanje nazivnika s nulom i rješavanje daje vrijednost koju x ne može biti.

# "riješiti" x-3 = 0rArrx = 3larrcolor (crveno) "isključena vrijednost" #

# "domena" x u (-oo, 3) uu (3, oo) #

# "let" y = (x + 9) / (x-3) #

# "prerasporedite izradu x predmet" #

#Y (x-3) = x + 9 #

# Xy-3y = x + 9 #

# Xy-x = 9 + 3y #

#x (y-1) = 9 + 3y #

# X = (9 + 3y) / (y-1) #

# "riješiti" y-1 = 0rArry = 1larrcolor (crveno) "isključena vrijednost" #

# "range" y u (-oo, 1) uu (1, oo) #

graf {(x + 9) / (x-3) -10, 10, -5, 5}

Neka je domena f (x) [-2,3], a raspon je [0,6]. Što je domena i raspon f (-x)?

Domena je interval [-3, 2]. Raspon je interval [0, 6]. Upravo tako, to nije funkcija, jer je njezina domena samo broj -2.3, dok je njezin raspon interval. No, pod pretpostavkom da je to samo tipografska pogreška, a stvarna domena je interval [-2, 3], to je kako slijedi: Neka je g (x) = f (-x). Budući da f zahtijeva da svoju neovisnu varijablu uzima samo u intervalu [-2, 3], -x (negativno x) mora biti unutar [-3, 2], što je domena od g. Budući da g dobiva svoju vrijednost kroz funkciju f, njezin raspon ostaje isti, bez obzira što koristimo kao nezavisnu varijablu.

Ako funkcija f (x) ima domenu od -2 <= x <= 8 i raspon od -4 <= y <= 6 i funkcija g (x) definirana je formulom g (x) = 5f ( 2x)) onda što su domena i raspon g?

Ispod. Koristite osnovne transformacije funkcija kako biste pronašli novu domenu i raspon. 5f (x) znači da je funkcija vertikalno rastegnuta za faktor pet. Stoga će novi raspon obuhvatiti interval koji je pet puta veći od izvornog. U slučaju f (2x), na funkciju se primjenjuje vodoravno rastezanje od faktora pola. Stoga su ekstremiteti domene prepolovljeni. Et voilà!

Ako je f (x) = 3x ^ 2 i g (x) = (x-9) / (x + 1), i x! = - 1, što bi f (g (x)) jednako? g (f (x))? f ^ 1 (x)? Što bi domena, raspon i nula za f (x) bili? Kakva bi bila domena, raspon i nula za g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x u RR}, R_f = {f (x) u RR; f (x)> = 0} D_g = {x u RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) u RR; g (x)! = 1}