Može li funkcija biti kontinuirana i ne-diferencirana na danoj domeni ??

Odgovor:

Da.

Obrazloženje:

Jedan od najupečatljivijih primjera toga je Weierstrassova funkcija koju je Karl Weierstrassova otkrila u svom izvornom radu kao:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

gdje # 0 <a <1 #, # B # je pozitivan neparni cijeli broj i #ab> (3pi + 2) / 2 #

To je vrlo šiljasta funkcija koja je kontinuirana svugdje na pravoj liniji, ali nigdje različita.

Odgovor:

Da, ako ima "savijenu" točku. Jedan primjer je #F (x) = | x | # na # X_0 = 0 #

Obrazloženje:

Kontinuirana funkcija praktično znači crtanje bez skidanja olovke s papira. Matematički, to znači da za bilo koju # X_0 # vrijednosti #F (x_0) # kako im se prilazi beskonačno malim # DX # slijeva i udesno moraju biti jednaki:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) *

gdje znak "minus" znači približavanje s lijeve strane i znak plus znači približavanje s desne strane.

Funkcija diferencijacije praktično znači funkciju koja stalno mijenja svoj nagib (NE u konstantnoj brzini). Dakle, funkcija koja se ne može razlikovati u određenoj točki praktično znači da naglo mijenja svoj nagib s lijeve strane te točke udesno.

Pogledajmo 2 funkcije.

#F (x) = x ^ 2 # na # X_0 = 2 #

Grafikon

graf {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Graf (zumirano)

graf {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Od u # X_0 = 2 # graf se može formirati bez skidanja olovke s papira, funkcija je u tom trenutku neprekidna. Budući da u tom trenutku nije savijena, ona je također različita.

#G (x) = | x | # na # X_0 = 0 #

Grafikon

graf {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

Na # X_0 = 0 # funkcija je neprekidna jer se može povući bez skidanja olovke s papira. Međutim, budući da se u tom trenutku savija, funkcija se ne može razlikovati.