Dopustiti biti N najmanji cijeli broj s 378 djelitelja. Ako je N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, koja je vrijednost {a, b, c, d} u NN?

$Dopustiti biti N najmanji cijeli broj s 378 djelitelja. Ako je N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, koja je vrijednost {a, b, c, d} u NN?$

Odgovor:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #

Obrazloženje:

S obzirom na broj # # N s premaznom faktorizacijom #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, svaki djelitelj od # # N je forme # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # gdje #beta_i u {0, 1, …, alpha_i} #, Kao što postoje # Alpha_i + 1 # izbor za svakog # Beta_i #, broj djelitelja od # # N daje se pomoću

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Kao # N = 2 ^ ^ axx3 bxx5 ^ ^ d cxx7 #, broj djelitelja od # N # daje se pomoću # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #, Stoga je naš cilj pronaći # (a, b, c, d) # tako da gornji proizvod ima i # 2 ^ ^ axx3 bxx5 ^ ^ d cxx7 # je minimalan. Kao što smo minimizirali, pretpostavit ćemo iz ove točke nadalje #A> = b> = c> = d # (ako to nije bio slučaj, mogli bismo zamijeniti eksponente da bismo dobili manji rezultat s istim brojem divisora).

Primjećujući to # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, možemo razmotriti moguće slučajeve u kojima #378# napisan je kao proizvod od četiri cijela broja # k_1, k_2, k_3, k_4 #, Možemo ih pregledati kako bismo vidjeli koji je rezultat najmanje # N #.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

# boja (crvena) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Možemo ovdje stati, jer će svaki daljnji slučaj imati nešto #k_i> = 27 #, davanje # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, koji je već veći od našeg najboljeg slučaja.

Prema gore navedenom djelu, onda # (a, b, c, d) # što proizvodi minimalan # N # s #378# divisors je # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, davanje #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #

Što je stvarni broj, cijeli broj, cijeli broj, racionalni broj i iracionalan broj?

Objašnjenje Niže Racionalni brojevi dolaze u 3 različita oblika; cijeli brojevi, frakcije i završavaju ili ponavljaju decimale kao što je 1/3. Iracionalni brojevi su prilično 'neuredni'. Ne mogu se pisati kao razlomci, oni su beskrajni, neponovljivi decimali. Primjer toga je vrijednost π. Cijeli se broj može nazvati cijeli broj i to je pozitivan ili negativan broj ili nula. Primjer toga je 0, 1 i -365.

Je li sqrt21 pravi broj, racionalni broj, cijeli broj, cijeli broj, iracionalan broj?

To je iracionalan broj i stoga stvaran. Prvo ćemo dokazati da je sqrt (21) stvarni broj, zapravo, kvadratni korijen svih pozitivnih realnih brojeva je stvaran. Ako je x pravi broj, tada definiramo za pozitivne brojeve sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. To znači da promatramo sve realne brojeve y tako da y ^ 2 <= x i uzmemo najmanji stvarni broj koji je veći od svih ovih y, tzv. Supremum. Za negativne brojeve, ova y ne postoje, jer za sve realne brojeve zauzimanje kvadrata ovog broja rezultira pozitivnim brojem, a svi pozitivni brojevi su veći od negativnih brojeva. Za sve pozitivne brojeve uvijek postoji

Kada uzmete moju vrijednost i pomnožite je s -8, rezultat je cijeli broj veći od -220. Ako uzmete rezultat i podijelite ga sa zbrojem -10 i 2, rezultat je moja vrijednost. Ja sam racionalan broj. Koji je moj broj?

Vaša vrijednost je bilo koji racionalni broj veći od 27.5 ili 55/2. Možemo modelirati ta dva zahtjeva s nejednakošću i jednadžbom. Neka je x naša vrijednost. -8x> -220 (-8x) / (-10 + 2) = x Najprije ćemo pokušati pronaći vrijednost x u drugoj jednadžbi. (-8x) / (-10 + 2) = x (-8x) / - 8 = x x = x To znači da bez obzira na početnu vrijednost x, druga jednadžba uvijek će biti istinita. Sada ćemo razraditi nejednakost: -8x> -220 x <27.5 Dakle, vrijednost x je bilo koji racionalni broj veći od 27.5, ili 55/2.