Je li sqrt21 pravi broj, racionalni broj, cijeli broj, cijeli broj, iracionalan broj?

Odgovor:

To je iracionalan broj i stoga stvaran.

Obrazloženje:

Prvo ćemo to dokazati #sqrt (21) # je pravi broj, zapravo, kvadratni korijen svih pozitivnih realnih brojeva je stvaran. Ako #x# je stvarni broj, onda definiramo za pozitivne brojeve #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <x} #, To znači da gledamo sve stvarne brojeve # Y # tako da # Y ^ 2 <= x # i uzeti najmanji stvarni broj koji je veći od svih ovih # Y #takozvani supremum. Za negativne brojeve, to # Y #Ne postoje, jer za sve realne brojeve, uzimanje kvadrata ovog broja rezultira pozitivnim brojem, a svi pozitivni brojevi su veći od negativnih brojeva.

Za sve pozitivne brojeve uvijek ima nekih # Y # koji odgovara stanju # Y ^ 2 <= x #naime #0#, Nadalje, postoji gornja granica tih brojeva, naime # x + 1 #, jer ako # 0 <y <1 #, onda # X + 1> y #, ako #Y> = 1 #, onda #Y <= y ^ 2 <= x #, Dakle # X + 1> y #, Možemo pokazati da za svaki ograničeni ne-prazan skup realnih brojeva uvijek postoji jedinstveni stvarni broj koji djeluje kao supremum, zbog tzv. # RR #, Dakle, za sve pozitivne realne brojeve #x# postoji stvarno #sqrt (x) *, Možemo također pokazati da u ovom slučaju #sqrt (x) = x ^ 2 #, ali ako ne želiš, neću to dokazati ovdje. Na kraju to napominjemo #sqrt (x)> = 0 #, od #0# je broj koji odgovara uvjetu, kao što je prethodno navedeno.

Sada zbog iracionalnosti #sqrt (21) #, Da nije iracionalno (tako racionalno), mogli bismo ga napisati kao #sqrt (21) = a / b # s # S # i # B # cijele brojeve i # A / b # pojednostavljeni koliko je to moguće, što znači da # S # i # B # nemaju zajednički djelitelj, osim #1#, To sada znači # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Sada koristimo nešto što se naziva premotna faktorizacija prirodnih brojeva. To znači da svaki pozitivan cijeli broj možemo zapisati kao jedinstveni proizvod prostih brojeva. Za #21# ovo je #3*7# i za # S # i # B # to je neki proizvoljni proizvod primes # A = a_1 * … * a_n # i # B = b_1 * … * b_m #, Činjenica da je jedini zajednički djelitelj # S # i # B # je #1# jednako je činjenici da # S # i # B # ne dijelite praeses u njihovu faktorizaciju, tako da postoje # A_i # i # B_j # tako da # A_i = b_j #, Ovo znači to # A ^ 2 # i # B ^ 2 # također ne dijele niti jedan primes, jer # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # i # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., dakle jedini zajednički djelitelj # A ^ 2 # i # B ^ 2 # je #1#, Od # A ^ 2-21b ^ 2 #, to znači # B ^ 2-1 #, Dakle # B = 1 #, Stoga #sqrt (21) = a #, Napominjemo da to vrijedi samo pod pretpostavkom da #sqrt (21) # je racionalno.

Sada bismo naravno mogli proći kroz sve pozitivne brojeve manje od #21# i provjerite daje li kvadriranje #21#, ali ovo je dosadna metoda. Da bismo to učinili na zanimljiviji način, ponovno se okrećemo našim primesima. Mi to znamo # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # i #21=3*7#, Dakle # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #, Na lijevoj strani svaki premijer se pojavljuje samo jednom, s desne strane, svaki premijer se pojavljuje barem dvaput, a uvijek jednak broj puta (ako # A_1 = a_n # to bi se dogodilo barem četiri puta). No, kao što smo naveli, ove premazne faktorizacije su jedinstvene, tako da to ne može biti točno. Stoga # 21nea ^ 2 #, Dakle #anesqrt (21) #, što znači da je naša ranija pretpostavka #sqrt (21) # racionalnost ispada da je pogrešna #sqrt (21) # je iracionalan.

Napominjemo da isti argument vrijedi za bilo koji pozitivan cijeli broj #x# s premaznom faktorizacijom gdje jedan od primesa ima nejednak broj puta, budući da kvadrat cijelog broja uvijek ima sve svoje osnovne faktore koji ukazuju na jednaku količinu puta. Iz toga zaključujemo da ako #x# je pozitivan cijeli broj (#x inNN #) ima primarni čimbenik koji se pojavljuje samo neujednačen broj puta, #sqrt (x) * biti iracionalan.

Svjestan sam da ovaj dokaz može izgledati malo dugo, ali koristi važne koncepte iz matematike. Vjerojatno u bilo kojem srednjoškolskom kurikulumu, takva razmišljanja nisu uključena (nisam 100% siguran, ne znam kurikulum svake srednje škole na svijetu), ali za stvarne matematičare, dokazivanje stvari je jedno od najvažnije aktivnosti koje obavljaju. Stoga sam vam želio pokazati kakva je matematika iza uzimanja kvadratnog korijena stvari. Ono što trebate oduzeti od ovoga, to je doista #sqrt (21) # je iracionalan broj.

Kendra misli na cijeli broj veći od -3 i manji od -2.7. Što je cijeli broj?

Ne postoji cijeli broj koji se nalazi strogo između te dvije vrijednosti. Ciljevi su jedinični koraci duž brojčane linije, npr. {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Dakle, -3 je cijeli broj. Budući da -2,7 ima decimalni dio, nije cijeli broj. Sljedeći cijeli broj veći od -3 je -2. Sljedeći cijeli broj manji od -2,7 je -3. Rečeno nam je da damo cijeli broj koji je najmanje -2, ali u isto vrijeme, najviše -3 ... što se ne može učiniti. Ako slučajno pitanje postavi "... veće ili jednako -3 ..." (ili možda "... veće od -3 .2 ..."), onda je rješenje -3. Međutim, u smislu dane formulacije, nema odgovora.

Neka je a ne-nulti racionalni broj, a b iracionalan broj. Je li - b racionalno ili iracionalno?

Čim u izračun uključite bilo koji iracionalan broj, vrijednost je iracionalna. Čim u izračun uključite bilo koji iracionalan broj, vrijednost je iracionalna. Razmislite o pi. pi je iracionalan. Stoga su 2pi, "" 6+ pi, "" 12-pi, "" pi / 4, "" pi ^ 2 "" sqrtpi itd. Iracionalni.

Što je stvarni broj, cijeli broj, cijeli broj, racionalni broj i iracionalan broj?

Objašnjenje Niže Racionalni brojevi dolaze u 3 različita oblika; cijeli brojevi, frakcije i završavaju ili ponavljaju decimale kao što je 1/3. Iracionalni brojevi su prilično 'neuredni'. Ne mogu se pisati kao razlomci, oni su beskrajni, neponovljivi decimali. Primjer toga je vrijednost π. Cijeli se broj može nazvati cijeli broj i to je pozitivan ili negativan broj ili nula. Primjer toga je 0, 1 i -365.