Nabavite kvadratni polinom sa sljedećim uvjetima? 1. zbroj nula = 1/3, proizvod nula = 1/2

Odgovor:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Obrazloženje:

Kvadratna formula je #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Zbroj dva korijena:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - c / s #

# -B / a = 1/3 #

# B = -a / 3 #

Proizvod dva korijena:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# C / a = 1/2 #

# C = a / 2 #

Imamo # X ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Dokaz:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# X = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 x 3))) / (2 x 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6-2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 x (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Odgovor:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Obrazloženje:

Ako imamo opću kvadratnu jednadžbu:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 ako x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

I označavamo korijen jednadžbe #alfa# i #beta#, onda, također imamo:

# (x-alfa) (x-beta) = 0 x x 2 - (alfa + beta) x + alfa beta = 0 #

Što nam daje dobro proučene osobine:

# {: ("zbroj korijena", = alfa + beta, = -b / a), ("proizvod korijena", = alfa beta, = c / a):} #

Tako imamo:

# {: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alfa beta, = c / a, = 1/2):} #

Stoga je tražena jednadžba:

# x ^ 2 - "(suma korijena)" x + "(proizvod korijena)" = 0 #

tj.:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

I (opcionalno), za uklanjanje frakcijskih koeficijenata, pomnožimo s #6# davanje:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #