Nabavite kvadratni polinom sa sljedećim uvjetima? 1. zbroj nula = 1/3, proizvod nula = 1/2

Odgovor:

`6x ^ 2-2x + 3 = 0`

Obrazloženje:

Kvadratna formula je `x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)`

Zbroj dva korijena:

`(- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - c / s`

`-B / a = 1/3`

`B = -a / 3`

Proizvod dva korijena:

`(- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a`

`C / a = 1/2`

`C = a / 2`

Imamo `X ^ 2 + bx + c = 0`

`6x ^ 2-2x + 3 = 0`

Dokaz:

`6x ^ 2-2x + 3 = 0`

`X = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 x 3))) / (2 x 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6`

`(1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6-2/6 = 1/3`

`(1 + sqrt (17) i) / 6 x (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2`

Odgovor:

`6x ^ 2 - 2x + 3 = 0`

Obrazloženje:

Ako imamo opću kvadratnu jednadžbu:

`ax ^ 2 + bx + c = 0 ako x ^ 2 + b / ax + c / a = 0`

I označavamo korijen jednadžbe `alfa` i `beta`, onda, također imamo:

`(x-alfa) (x-beta) = 0 x x 2 - (alfa + beta) x + alfa beta = 0`

Što nam daje dobro proučene osobine:

`{: ("zbroj korijena", = alfa + beta, = -b / a), ("proizvod korijena", = alfa beta, = c / a):}`

Tako imamo:

`{: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alfa beta, = c / a, = 1/2):}`

Stoga je tražena jednadžba:

`x ^ 2 - "(suma korijena)" x + "(proizvod korijena)" = 0`

tj.:

`x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0`

I (opcionalno), za uklanjanje frakcijskih koeficijenata, pomnožimo s `6` davanje:

`6x ^ 2 - 2x + 3 = 0`