Trokut ima uglove u (4, 1), (2, 4) i (0, 2) #. Koje su krajnje točke pravokutnih simetrala trokuta?

Odgovor:

Jednostavne krajnje točke su središnje točke, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# i teže su tamo gdje se simetrale susreću s drugim stranama, uključujući #(8/3,4/3).#

Obrazloženje:

Po okomitim simetralima trokuta pretpostavljamo da je simetrala svake strane trokuta okomita. Dakle, postoje tri simetrala za svaki trokut.

Svaka simetrala okomice definirana je tako da presjeca jednu stranu na svojoj središnjoj točki. Također će presjeći jednu od drugih strana. Pretpostavit ćemo da su ta dva sastanka krajnja točka.

Središnje točke su

# D = frak 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frak 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Ovo je vjerojatno dobro mjesto za učenje o parametarskim prikazima linija i segmenata. # T # je parametar koji se može kretati preko reala (za liniju) ili od #0# do #1# za segment linije.

Označimo točke #A (4,1) *, #B (2,4) * i #C (0,2) *, Tri strane su:

# AB: (x, y) = (1-t) A + B #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Kao # T # ide od nule do jedne koju pratimo sa svake strane.

Uspjet ćemo. # D # je središnja točka #PRIJE KRISTA#, # D = frak 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Vektor smjera od C do B je # B-C = (2,2) *, Za okomicu, okrećemo dva koeficijenta (nema učinka ovdje jer su oboje #2#) i negirati. Dakle, parametarska jednadžba za okomicu

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Različita linija, različiti parametri.) Možemo vidjeti gdje se to susreće sa svakom stranom.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + l, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # potvrđuje da simetrala okomice susreće BC na svojoj središnjoj točki.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

oduzimanjem, # t = 2-3 = - 1 #

To je izvan raspona tako da simetrala BC ne pogodi stranu AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

oduzimanjem, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

To daje drugu krajnju točku kao

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Ovo postaje dugo, pa ću vam ostaviti druga dva krajnja mjesta.