Što je f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx ako je f (pi / 6) = 1?

Odgovor:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2SEC ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) *

Obrazloženje:

Počinjemo dijeljenjem integrala u tri:

#int e ^ xcos (x) dx-int je ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int je ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Nazvat ću lijevi integralni Integral 1 i desni Integral 2

Integral 1

Ovdje nam je potrebna integracija po dijelovima i mali trik. Formula za integraciju po dijelovima je:

# f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

U ovom slučaju, pustit ću #F (x) = x ^ e # i #G "(x) = cos (x) *, Shvatili smo to

#F "(x) = x ^ e # i #G (x) = sin (x) *.

To čini naš integralni:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Sada možemo ponovno integrirati dijelove, ali ovaj put s #G "(x) = sin (x) *:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

ex xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Sada možemo dodati integral na obje strane, dajući:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = E x ^ / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Najprije možemo upotrijebiti identitet:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

To daje:

#int a ^ 3 (x) dx = int ^ ^ (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Sada možemo upotrijebiti pythagorean identitet:

# Sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x)

Sada možemo uvesti u-zamjenu s # U = cos (x) #, Zatim dijelimo s izvedenicom, # -Sin (x) * integrirati s obzirom na # U #:

# -int (poništi (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (poništi (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 d = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Dovršavanje izvornog integrala

Sada kada znamo Integral 1 i Integral 2, možemo ih ponovno uključiti u izvorni integral i pojednostaviti dobivanje konačnog odgovora:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2SEC ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Sada kada znamo antiderivativno, možemo riješiti za konstantu:

#F (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2SEC ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6), C = 1 + #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2), C = 1 + #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) *

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) *

To daje da je naša funkcija:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2SEC ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) *