Dokazati da dječji krevetić 4x (grijeh 5 x + sin 3 x) = krevetić x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Desna strana:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = krevetić x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Lijeva strana:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = krevetić (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Jednaki su #quad sqrt #

Odgovor:

Faktorska formula (identiteti Sum-to-Product i Product-to-Sum)

Obrazloženje:

Za ovo pitanje možemo upotrijebiti Zbroj za proizvod i Proizvodi za Sum identiteti.

Lijen sam, pa evo slike identiteta.

Gornja formula za proizvod-za-sumu može se izvesti pomoću složenih kutnih identiteta.

Upotrebom zamjene #alpha = a + b # i #beta = a - b #, možemo dobiti sljedeće formule za zbroj proizvoda.

Sada, kad smo to riješili, primijenimo naše formule.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = kolijevka (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = krevetić (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

Alternativno, možete također primijeniti formulu sum-to-product na desnoj strani:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS.

# QED #