Koje su sve vrijednosti za k za koje int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

i

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) * ali

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # i

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # tako

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

ili

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2-0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2-0)} #

onda konačno

stvarne vrijednosti #k = {-2,2} #

složene vrijednosti #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Odgovor:

# k = + - 2 #

Obrazloženje:

Tražimo:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integriranje dobivamo:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 boja (bijela) ("" / "")) x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Pretpostavimo to #k u RR # (postoje zapravo #6# korijenje, #4# od kojih su složene)

Sada, ovisno o kontekstu problema, to se može tvrditi #K <2 # (tj # K = -2 #) je nevažeće kao #K> = 2 # da unutarnje "pravo" tako isključi to rješenje, ali bez ikakvog konteksta razumno je uključiti oba rješenja.

Također, imajte na umu to #K = + - 2 # može se pokazati kao rješenje bez stvarne integracije.

Prvo, svojstvo određenih integrala je sljedeće:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

tako da možemo odmah uspostaviti # K = 2 # je rješenje.

Drugo, # X ^ 5 # je neparan funkcija, a neparne funkcije zadovoljavaju:

# f (-x) = f (x) #

i imaju rotacijsku simetriju o podrijetlu. kao takve, ako #F (x) * je onda čudno:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

tako da možemo odmah uspostaviti # K = -2 # je rješenje.

Međutim, integracija i naknadni izračuni dokazuju da su to jedina rješenja!