Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed [2 ^ -n] konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Odgovor:

Koristite svojstva eksponencijalne funkcije za određivanje N kao što je # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # za svaki # m, n> N #

Obrazloženje:

Definicija konvergencije navodi da je # {A_n} # konvergira ako:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Dakle, dano #epsilon> 0 # uzeti #N> log_2 (1 / epsilon) # i # m, n> N # s #m <n #

Kao #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # tako # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (m - n)) #

Sada kao # 2 ^ x # uvijek je pozitivan, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, Dakle

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

I kao # 2 ^ (- x) * strogo se smanjuje i #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Ali:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Tako:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Dopustiti: a_n = 5 + 1 / n zatim za bilo koji m, n u NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) kao n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i kao 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. S obzirom na bilo koji stvarni broj epsilon> 0, odaberite onda cijeli broj N> 1 / epsilon. Za bilo koji cijeli broj m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon koji dokazuje Cauchyjev uvjet konvergencije niza.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da je slijed lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 konvergiran?

S obzirom na bilo koji broj epsilon> 0 odaberite M> 1 / sqrt (6epsilon), s M u NN. Zatim, za n> = M imamo: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon i tako: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon koji dokazuje granicu.

Kako koristiti Integralni test za određivanje konvergencije ili divergencije serije: sum n e ^ -n od n = 1 do beskonačnosti?

Uzmite integralni int_1 ^ ooxe ^ -xdx, koji je konačan, i imajte na umu da on graniči sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Stoga je konvergentan, tako da je i sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). Formalna izjava integralnog testa kaže da ako fin [0, oo) rightarrowRR monotono smanjuje funkciju koja je ne-negativna. Tada je zbroj suma (n = 0) ^ oof (n) konvergentan ako i samo ako je "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx konačan. (Tau, Terence. Analiza I, drugo izdanje. Agencija Hindustan knjiga. 2009). Ova izjava može se činiti malo tehničkom, ali ideja je sljedeća. Uzimajući u ovom slučaju funkciju f (x) = xe ^ (- x), napominje