Kako koristiti Integralni test za određivanje konvergencije ili divergencije serije: sum n e ^ -n od n = 1 do beskonačnosti?

Odgovor:

Uzmi integralni # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, koja je konačna, i imajte na umu da je ograničena #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #, Stoga je konvergentan #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # također.

Obrazloženje:

Formalna izjava integralnog testa kaže da ako #fin 0, oo) rightarrowRR # monotono opadajuća funkcija koja nije negativna. Zatim zbroj #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # je konvergentan ako i samo ako # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ NF (x) dx # je konačan. (Tau, Terence. Analiza I, drugo izdanje. Agencija Hindustan knjiga. 2009).

Ova izjava može se činiti malo tehničkom, ali ideja je sljedeća. Uzimajući u ovom slučaju funkciju #F (x) = XE ^ (- x) *, mi to primjećujemo #x> 1 #, ova funkcija se smanjuje. To možemo vidjeti uzimajući derivat. #F "(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, od #x> 1 #, Dakle # (1-x) <0 # i #E ^ (- x)> 0 #.

Zbog toga napominjemo da za bilo koji #ninNN _ (> = 2) # i #x u 1, oo) # tako da #x <= n # imamo #F (x)> = f (n) #, Stoga #int_ (n-1) ^ NF (x) dx> = int_ (n-1) ^ NF (n) dx = f (n) #, Dakle #sum_ (n = 1) ^ NF (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ NF (x) dx = f (1) + int_1 ^ NF (x) DX #.

# Int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - XE ^ (- x) | _1 ^ oo ^ + int_1 ooe ^ (X) dx ## = - XE ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # koristeći integraciju po dijelovima i to #lim_ (xrightarrowoo) e ^ X = lim_ (xrightarrowoo) XE ^ X = 0 #.

Od #F (x)> = 0 #, imamo # E / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ NF (x) dx #, Dakle #sum_ (n = 1) ^ NF (n) <= f (1) 2 + / e = 3 / e #, Od #F (n)> = 0 #, serija #sum_ (n = 1) ^ NF (n) # povećava se kao # N # povećava. Budući da je ograničen # 3 / e #, mora konvergirati. Stoga #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # konvergira.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Dopustiti: a_n = 5 + 1 / n zatim za bilo koji m, n u NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) kao n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i kao 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. S obzirom na bilo koji stvarni broj epsilon> 0, odaberite onda cijeli broj N> 1 / epsilon. Za bilo koji cijeli broj m, n> N imamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon koji dokazuje Cauchyjev uvjet konvergencije niza.

Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed [2 ^ -n] konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Koristite svojstva eksponencijalne funkcije za određivanje N, kao što je | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon za svaki m, n> N Definicija konvergencije kaže da se {a_n} konvergira ako: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Dakle, s obzirom na epsilon> 0 uzmite N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N s m <n Kao m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tako | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Sada kao 2 ^ x uvijek pozitivno, (1 - 2 ^ (mn)) <1, dakle 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) i kao 2 ^ (- x) strog

Kako mogu pronaći konvergenciju ili divergenciju ove serije? zbroj od 1 do beskonačnosti od 1 / n ^ lnn

Konvergira Razmotrimo seriju sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, gdje je p> 1. P-testom ova serija konvergira. Sada, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p za sve dovoljno velike n sve dok je p konačna vrijednost. Dakle, izravnim testom usporedbe, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n konvergira. Zapravo, vrijednost je približno jednaka 2.2381813.