Koristeći definiciju konvergencije, kako dokazati da slijed {5+ (1 / n)} konvergira od n = 1 do beskonačnosti?

Neka:

#a_n = 5 + 1 / n #

zatim za bilo koji # m, n u NN # s #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

kao #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

i kao # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

S obzirom na pravi broj #epsilon> 0 #, odaberite zatim cijeli broj #N> 1 / e #.

Za bilo koji cijeli broj # m, n> N # imamo:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

što dokazuje Cauchyjev uvjet za konvergenciju niza.