Kako pomnožiti (4 + 6i) (3 + 7i) u trigonometrijskom obliku?

Prije svega moramo pretvoriti ta dva broja u trigonometrijske oblike.

Ako # (A + ib) # je kompleksan broj, # U # je njezina veličina i #alfa# tada je njegov kut # (A + ib) # u trigonometrijskom obliku piše kao #U (cosalpha + isinalpha) #.

Magnituda kompleksnog broja # (A + ib) # daje se pomoću#sqrt (a + b ^ 2 ^ 2) * i njegov kut daje # Tan ^ 1 (b / a) #

pustiti # R # biti veličina # (4 + 6i) # i # Teta # biti njegov kut.

Magnituda # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Kut # (4 + 6i) = Tan ^ 1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

pustiti # S # biti veličina # (3 + 7i) # i # Fi # biti njegov kut.

Magnituda # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Kut # (3 + 7i) = Tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Sada,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = R (Costheta + isintheta) + e (Cosphi + isinphi) #

# = Rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = RS (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (+ sinthetacosphi costhetasinphi) #

# = Rs (cos (theta + fi) + ISIN (theta + fi)) *

Ovdje imamo sve što je prisutno, ali ako ovdje izravno zamijenimo vrijednosti, riječ bi bila neuredna #theta + phi # pa prvo ćemo saznati # Theta + fi #.

# Theta + fi = tan ^ 1 (3/2) + tan ^ 1 (7/3) #

Mi to znamo:

# Tan ^ 1 (a) + tan ^ 1 (b) = tan ^ 1 ((a + b) / (1-ab)) *

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = Tan ^ 1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (theta + fi) + ISIN (theta + fi)) *

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

Ovo je vaš konačni odgovor.

To možete učiniti i pomoću druge metode.

Prvo množenjem složenih brojeva i zatim promjenom u trigonometrijski oblik, što je mnogo lakše od ovoga.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + + 28i 18i + 42i ^ 2 = 12 + 42 = 46i--30 + 46i #

Sada se promijeni # -30 + 46i # u trigonometrijskom obliku.

Magnituda # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Kut # -30 + 46i = tan ^ 1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #