Molim vas, pomozite mi u tome, kako to učiniti?

Odgovor:

#k = 3 #

Obrazloženje:

Koristeći svojstva eksponenta to # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # i # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, imamo

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3 k) * 3 ^ k #

Tako #13!# je djeljiv s # 24 ^ k # ako i samo ako #13!# je djeljiv s # 2 ^ (3k) # i djeljiv je s # 3 ^ k #.

Možemo reći najveću moć #2# kojim #13!# je djeljiv s ako promatramo njegove čimbenike koji su djeljivi #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Kao ni jedan od ak faktora pridonijeti bilo koji čimbenici #2#, imamo

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

gdje # M # je cijeli broj koji nije djeljiv s #2#, Kao takvi to znamo #13!# je djeljiv s # 2 ^ (3k) # ako i samo ako #2^10# je djeljiv s # 2 ^ (3k) #, što znači # 3k <= 10 #, Kao # K # je cijeli broj, to znači #k <= 3 #.

Zatim, možemo pogledati na koje faktore #13!# su djeljive s #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Kao ni jedan drugi faktor #13!# doprinose bilo kojim čimbenicima #3#, to znači

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

gdje # # N je cijeli broj koji nije djeljiv s #3#, Kao takvi to znamo #3^5# je djeljiv s # 3 ^ k #, što znači #k <= 5 #.

Najveći nenegativan cijeli broj koji zadovoljava ograničenja #K <3 # i #K <5 # je #3#, dajući nam odgovor # K = 3 #.

To će provjeriti kalkulator #(13!)/24^3 = 450450#, dok #(13!)/24^4=18768.75#