Kako pronaći vrh kvadratne jednadžbe?

Odgovor:

Koristite formulu # -B / (2a) # za x koordinatu, a zatim je uključite da biste pronašli y.

Obrazloženje:

Kvadratna jednadžba je zapisana kao # X ^ 2 + bx + c # u svom standardnom obliku. A vrh se može pronaći pomoću formule # -B / (2a) #.

Na primjer, pretpostavimo da je naš problem otkriti vrh (x, y) kvadratne jednadžbe # 2 x ^ + 2x-3 #.

1) Procijenite svoje vrijednosti a, b i c. U ovom primjeru, a = 1, b = 2 i c = -3

2) Uključite svoje vrijednosti u formulu # -B / (2a) #, Za ovaj primjer, dobit ćete #-2/(2*1)# što se može pojednostaviti na -1.

3) Upravo ste pronašli x koordinatu vašeg vrha! Sada uključite -1 za x u jednadžbi kako biste saznali y-koordinatu.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (1) -3-y #.

5) Nakon pojednostavljenja gornje jednadžbe dobivate: 1-2-3 koja je jednaka -4.

6) Vaš konačni odgovor je (-1, -4)!

Nadam se da je to pomoglo.

Odgovor:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # ima vrh na # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Obrazloženje:

Razmotrite opći kvadratni izraz:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

i pridruženu jednadžbu #F (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

S korijenima, #alfa# i #beta#.

Znamo (po simetriji - vidi dolje za dokaz) da je vrh (ili maksimalni ili minimalni) sredina dviju korijena, #x#- koordinata vrha je:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Međutim, prisjetite se dobro proučenih svojstava:

# {: ("zbroj korijena", = alfa + beta, = -b / a), ("proizvod korijena", = alfa beta, = c / a):} #

Tako:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Dajemo nam:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

(b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Tako:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # ima vrh na # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Dokaz o središnjoj točki:

Ako jesmo

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Zatim, razlikovanjem wrt #x#:

# f '(x) = 2ax + b #

U kritičnoj točki, prvi derivat, #F "(x) * nestaje, što zahtijeva:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) t QED