Što je kubni korijen (sqrt3 -i)?

Počeo bih pretvoriti broj u trigonometrijski oblik:

# Z = sqrt (3) -i-2 cos (-piperidm- / 6) + ISIN (-piperidm- / 6) #

Kubni korijen ovog broja može se napisati kao:

# ^ Z (1/3) #

Sada s tim na umu koristim formulu za n-tu moć kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku:

# Z ^ n r ^ n cos (ntheta) + ISIN (ntheta) # davanje:

# ^ Z (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-piperidm- / 6 * 1/3) + ISIN (-piperidm- / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-piperidm- / 18) + ISIN (-piperidm- / 18) #

Koji je u pravokutnom obliku: # 4.2-0.7i #

Ne mogu se u potpunosti složiti s Gióovim odgovorom, jer je nepotpun i također (formalno) pogrešan.

Formalna pogreška je u korištenju De Moivreova formula s ne-brojevima eksponenata. De Moivreova formula može se primijeniti samo na eksponente cijelog broja. Više pojedinosti o tome na stranici Wikipedije

Tamo ćete naći djelomično proširenje formule, s kojom ćete se nositi # # Nkorijena (uključuje dodatni parametar # K #): ako # z = r (cos theta + i sin theta) #, onda

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # gdje # k = 0, …, n-1 #.

Jedan (i na neki način) to je vrlo temeljno svojstvo kompleksnih brojeva # # N- korijeni imaju … # # N korijeni (rješenja)! Parametar # K # (koja varira između #0# i # N-1 #, Dakle # # N omogućuje nam da ih sažimamo u jednu formulu.

Dakle, korijen kocke ima tri rješenja i pronalaženje samo jednog od njih nije dovoljno: to je samo "#1/3# otopine ".

U nastavku ću napisati prijedlog rješenja. Komentari su dobrodošli!

Kao što je Gió ispravno sugerirao, prvi korak je izražavanje # Z = sqrt {3} -i # u svom trigonometrijskom obliku #r (cos theta + i sin theta) #, Kada se radi o korijenima, trigonometrijski oblik je (gotovo) uvijek koristan alat (zajedno s eksponencijalnim). Dobivate:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {({3 sqrt}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1 =} sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Tako # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Sada želite izračunati korijene. Prema gore navedenoj formuli, dobivamo:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

gdje # k = 0, 1, 2 #, Dakle, postoje tri različite vrijednosti # K # (#0#, #1# i #2#koji rađaju tri različita kompleksna korijena # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# Z_0 #, # Z_1 # i # Z_2 # su tri rješenja.

Geometrijska interpretacija formule za # # N Korijeni su vrlo korisni za crtanje rješenja u složenoj ravnini. Također, radnja vrlo lijepo ukazuje na svojstva formule.

Prije svega, možemo primijetiti da sva rješenja imaju istu udaljenost # R ^ {1 / n} # (u našem primjeru #2^{1/3}#) od podrijetla. Dakle, svi leže na opsegu radijusa # R ^ {1 / n} #, Sada moramo naglasiti gdje smjestiti ih na taj opseg. Argumente sinusa i kosinusa možemo prepisati na sljedeći način:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

"Prvi" korijen odgovara # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Svi ostali korijeni mogu se dobiti iz toga dodavanjem kuta # (2pi) / n # rekurzivno na kut # Theta / n # u odnosu na prvi korijen # Z_0 #, Tako se krećemo # Z_0 # na obodu okretanjem # (2pi) / n # radijani (# (360 ° C) / n #). Tako se točke nalaze na vrhovima regularnog # # Ngon. S obzirom na jednu od njih, možemo pronaći i druge.

U našem slučaju:

gdje je plavi kut # Theta / n = -piperidm- / 18 # i magenta jedno je # (2pi) / n = 2/3 pi #.