Trokut A ima površinu od 9 i dvije strane duljine 6 i 9. Trokut B je sličan trokutu A i ima duljinu 12. Koja su maksimalna i minimalna moguća područja trokuta B?

Odgovor:

min frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} oko 5.922584784 … #

maksimum # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} oko 85.39448839 … #

Obrazloženje:

S obzirom na:

# Područje _ {

Duljine bočnih stranica # su # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Duljine bočnih stranica # su # U, V, W #

#U = 12 #

# trokut A {slično} t

prvo riješiti za # Z #:

koristi Heronovu Formulu: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # gdje # S = frac {A + B + C} {2} #, sub u području 9 i dužine 6 i 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

Frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

pustiti # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

koristiti kvadratnu formulu

# u = frac {-b, sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Odbacite negativna rješenja kao # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Tako # Z približno 3,895718613 # i # 14.79267983 # odnosno

# ako je trokut A {slično} trokut B, područje _ {trokut B} = k ^ 2 * područje _ { gdje # K # je faktor promjene veličine

# k = 12 / s # gdje je uređen u uzlaznom redoslijedu: #s u {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

ili u decimalnom obliku: u {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Što je veća vrijednost # S #, manja je površina i manja je vrijednost # S #, što je veće područje,

Dakle, kako bi se smanjila površina odabrati # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

i kako biste maksimizirali odabir područja # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Dakle, minimalna površina # = 9 * frac {12} {3, sqrt {8, sqrt {2} +13}} ^ 2 #

frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} oko 5.922584784 … #

i maksimalno područje # = 9 * frac {12} {3, sqrt {13-8} {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} oko 85.39448839 … #