Kako dokazati (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Trebat ćemo ta dva identiteta da bismo upotpunili dokaz:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) *

Započet ću s desne strane, a zatim manipulirati njime dok ne izgleda kao lijeva strana:

# RHS-cos ^ 2 (x / 2) *

#COLOR (bijeli) (RHS) = (cos (x / 2),) ^ 2 #

#COLOR (bijeli) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2),) ^ 2 #

#COLOR (bijeli) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#COLOR (bijeli) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (crveno) (* sinx / sinx) #

#COLOR (bijeli) (RHS) = (+ sinx sinxcosx) / (2sinx) #

#COLOR (bijeli) (RHS) = (+ sinx sinxcosx) / (2sinx) boja (crvena) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) *

#COLOR (bijeli) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#COLOR (bijeli) (RHS) = (+ tanx sinx) / (2tanx) #

#COLOR (bijeli) (RHS) = LHS #

To je dokaz. Nadam se da je ovo pomoglo!

Nastojimo dokazati identitet:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Razmotrite LHS izraza i upotrijebite definiciju tangente:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 # t

# (1 + cosx) / 2 #

Sada razmotrite RHS i upotrijebite identitet:

# cos2A - = 2skok ^ 2A - 1 #

Dajemo nam:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Tako:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) t QED

# LHS = (+ tanx sinx) / (2tanx) #

# = (Otkazivanje (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) *

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #