Akord duljine 12 traje od pi / 12 do pi / 6 radijana po krugu. Koje je područje kruga?

Odgovor:

Površina kruga je

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Obrazloženje:

Slika iznad odražava uvjete postavljene u problemu. Svi kutovi (uvećani za bolje razumijevanje) su u radijanima koji broje od horizontalne X-osi #VOL# kazaljke na satu.

# AB-12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Moramo pronaći radijus kruga kako bismo odredili njegovo područje.

Znamo taj akord # AB # ima duljinu #12# i kut između radijusa # OA # i # OB # (gdje # O # je središte kruga)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Izgradite visinu #OH# trokuta #Delta AOB # iz vrha # O # na stranu # AB #, Od #Delta AOB # je jednakokračan, #OH# je medijana i simetrala kuta:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ Boh = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Razmotrite pravi trokut #Delta AOH #.

Znamo taj kathetus # AH = 6 # i kut # / _ AOH = pi / 24 #.

Stoga, hipotenuza # OA #, koji je radijus našeg kruga # R #, jednako

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Znajući radijus, možemo pronaći područje:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Izrazimo to bez trigonometrijskih funkcija.

Od

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

možemo izraziti područje na sljedeći način:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Još jedan trigonometrijski identitet:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Stoga,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Sada možemo predstavljati područje kruga kao

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Odgovor:

Drugi pristup je isti rezultat

Obrazloženje:

Traka AB duljine 12 u gornjoj slici kreće od# Pi / 12 # do # Pi / 6 # u krugu radijusa r i centar O, uzet kao izvor.

# / _ AOX = pi / 12 # i # / _ BOX = pi / 6 #

Dakle, polarna koordinata A # = (R, pi / 12) # i B # = (R, pi / 6) #

Primjena formule udaljenosti za polarne koordinate

dužina akorda AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + R ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2-r ^ 2 + R ^ R ^ 2-2 * 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) *

# => R ^ 2-144 / (2 (1-cos (pi / 12)) *

# => R ^ 2-cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) *

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) *

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) *

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) *

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) *

Dakle, područje kruga

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) *

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) *