Uzmite u obzir 3 jednaka kruga radijusa r unutar dane kružnice radijusa R, koji svaki dodiruje ostala dva i dani krug kao što je prikazano na slici, onda je područje zasjenjenog područja jednako?

Možemo oblikovati izraz za područje osjenčane regije tako:

#A_ "zasjenjen" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centar" #

gdje #A_ "centar" # je područje malog dijela između tri manja kruga.

Da bismo pronašli područje ovoga, možemo nacrtati trokut spajanjem središta triju manjih bijelih krugova. Budući da svaki krug ima polumjer # R #, duljina svake strane trokuta je # 2r # i trokut je jednakostraničan tako da ima kutove od # 60 ^ O # svaki.

Možemo stoga reći da je kut središnjeg područja područje tog trokuta minus tri sektora kruga. Visina trokuta je jednostavno #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, tako da je područje trokuta # 1/2 * baza * visina = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Područje triju kružnih segmenata unutar ovog trokuta u osnovi je ista površina kao i pola jednog kruga (zbog toga što imaju kutove # 60 ^ O # svaki, ili #1/6# krug, tako da možemo zaključiti da je ukupna površina tih sektora # 1/2 pir ^ 2 #.

Konačno, možemo riješiti područje središta regije #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Vraćajući se na naš izvorni izraz, područje zasjenjenog područja je

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -piperidm- / 2) *

Odgovor:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Obrazloženje:

Dajmo bijelim krugovima radijus od # R = 1 #, Centri formiraju jednakostraničan trokut #2#, Svaki medijan / visina je #sqrt {3} # tako je udaljenost od vrha do centroida # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid je središte velikog kruga tako da je to udaljenost između središta velikog kruga i središta malog kruga. Dodamo malo radijusa od # R = 1 # dobiti

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Područje koje tražimo je područje velikog kruga manje jednakostraničnog trokuta i preostalog #5/6# svakog malog kruga.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Skaliramo # R ^ 2 # općenito.