Integracija 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Odgovor:

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Obrazloženje:

Počnite tako da faktorizirate nazivnik:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Sada možemo raditi djelomične frakcije:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x 1) #

Možemo pronaći # S # pomoću metode prikrivanja:

# A = 1 / ((tekst (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Sljedeće možemo pomnožiti obje strane s LHS nazivnikom:

# 1-1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1/3 x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + 2 + Bx ^ Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3), x + (C + 1/3) #

To daje sljedeće jednadžbe:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1> C = 2/3 #

To znači da možemo prepisati naš izvorni integralni:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Prvi integral može se izvršiti pomoću eksplicitne u-supstitucije, ali je prilično jasno da je odgovor #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Preostali dio možemo podijeliti na dva dijela:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Razlog prevare s umnožavanjem i dijeljenjem #2# znači da je imenitelj lijeve ruke lakše koristiti u-zamjenu na.

Nazvat ću lijevi integralni Integral 1 i desni integralni Integral 2

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1)

Budući da smo već pripremili ovaj integral za zamjenu, sve što trebamo učiniti je zamjena # U = x ^ 2-x + 1 #i derivat je # 2 x-1 #, tako da se po tome dijelimo da bismo se integrirali s obzirom na # U #:

#int otkazati (2x-1) / (otkazati (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Želimo dobiti ovaj integralni oblik u obliku:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Da bismo to učinili, moramo dovršiti kvadrat za nazivnik:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x-x + 1 ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Želimo uvesti u-zamjenu tako da:

# (X-1/2) ^ 2 = 3/2 ^ 4U #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Pomnožimo sa izvedenicom s obzirom na # U # integrirati s obzirom na # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ 1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Dovršavanje izvornog integrala

Sada kada znamo odgovor na Integral 1 i Integral 2, možemo ih uključiti u izvorni izraz kako bismo dobili konačni odgovor:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Odgovor:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Obrazloženje:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Integracija pomoću zamjene intsqrt (1 + x ^ 2) / x dx? Kako riješiti ovo pitanje, molim pomoć mene?

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Koristi u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Stavljanje u = sqrt (1 + x ^ 2) natrag u daje: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( ABS (sqrt (1 + x ^ 2), 1)) + 1 / 2ln

Što je integracija pomoću trapezoidnog pravila?

Podijelimo interval [a, b] na n podintervala jednakih duljina. [a, b] do {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, gdje je a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Možemo aproksimirati određeni integral int_a ^ bf (x) dx trapezoidnim pravilom T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n}

Što je integracija 1 / log (sqrt (1-x))?

Evo, log je ln .. Odgovor: (2sum ((- 1) ^ (n-1)) / n (x / ln (1-x)) ^ n, n = 1, 2, 3, ..oo) + C .. = 2ln (1 + x / (ln (1-x))) + C, | x / (ln (1-x)) | <1 Upotrijebite dv = uv-intv du, sukcesivno. inti / (lnsqrt (1-x) dx = 2int1 / ln (1-x) dx = 2 [x / ln (1-x) -intxd (1 / ln (1-x))] = 2 [[x / ln (1-x) -intx / (ln (1-x)) ^ 2 dx] = 2 [[x / ln (1-x) -int1 / (ln (1-x)) ^ 2 d (x ^ 2/2)] i tako dalje.Konačna beskonačna serija pojavljuje se kao odgovor.Ja sam još proučavati interval konvergencije za seriju. Do sada, | x / (ln (1-x)) | <1 Interval za x, iz ove nejednakosti, regulira interval za bilo koji definitivni integral z