Integracija 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Odgovor:

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Obrazloženje:

Počnite tako da faktorizirate nazivnik:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Sada možemo raditi djelomične frakcije:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x 1) #

Možemo pronaći # S # pomoću metode prikrivanja:

# A = 1 / ((tekst (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Sljedeće možemo pomnožiti obje strane s LHS nazivnikom:

# 1-1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1/3 x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + 2 + Bx ^ Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3), x + (C + 1/3) #

To daje sljedeće jednadžbe:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1> C = 2/3 #

To znači da možemo prepisati naš izvorni integralni:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Prvi integral može se izvršiti pomoću eksplicitne u-supstitucije, ali je prilično jasno da je odgovor #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Preostali dio možemo podijeliti na dva dijela:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Razlog prevare s umnožavanjem i dijeljenjem #2# znači da je imenitelj lijeve ruke lakše koristiti u-zamjenu na.

Nazvat ću lijevi integralni Integral 1 i desni integralni Integral 2

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1)

Budući da smo već pripremili ovaj integral za zamjenu, sve što trebamo učiniti je zamjena # U = x ^ 2-x + 1 #i derivat je # 2 x-1 #, tako da se po tome dijelimo da bismo se integrirali s obzirom na # U #:

#int otkazati (2x-1) / (otkazati (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Želimo dobiti ovaj integralni oblik u obliku:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Da bismo to učinili, moramo dovršiti kvadrat za nazivnik:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x-x + 1 ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Želimo uvesti u-zamjenu tako da:

# (X-1/2) ^ 2 = 3/2 ^ 4U #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Pomnožimo sa izvedenicom s obzirom na # U # integrirati s obzirom na # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ 1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Dovršavanje izvornog integrala

Sada kada znamo odgovor na Integral 1 i Integral 2, možemo ih uključiti u izvorni izraz kako bismo dobili konačni odgovor:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ 1 ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Odgovor:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2 x-1) / sqrt3) + C #

Obrazloženje:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2 x-1) / sqrt3) + C #