Koji su globalni i lokalni ekstremi f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Odgovor:

#F (x) * ima apsolutni minimum na #(-1. 0)#

#F (x) * ima lokalni maksimum na # (- 3, 4e ^ -3) #

Obrazloženje:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Pravilo o proizvodu

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Za apsolutne ili lokalne ekstreme: #f '(x) = 0 #

To je mjesto gdje: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Od # e ^ x> 0 za sve x u RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 ili -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Pravilo o proizvodu

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Opet, od # E ^ x> 0 # samo trebamo testirati znak # (X ^ 2 + 6x + 7) #

na našim ekstremnim točkama odrediti je li točka maksimum ili minimum.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # je minimum

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # je maksimum

S obzirom na graf #F (x) * ispod je jasno da #F (-3) # je lokalni maksimum i #F (1) # je apsolutni minimum.

graf {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Konačno, vrednovanje ekstremnih točaka:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

i

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0,199 #