Koja je duljina luka r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) na kositru [1, ln2]?

Odgovor:

Dužina luka #~~ 2.42533 # (5dp)

Dužina luka je negativna zbog donje granice #1# biti veći od gornje granice # Ln2 #

Obrazloženje:

Imamo parametarsku vektorsku funkciju, koju daje:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >>

Kako bismo izračunali duljinu luka, zahtijevat ćemo derivat vektora, koji možemo izračunati pomoću pravila o proizvodu:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t)) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >>

# << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> # t

Tada izračunamo veličinu izvedenog vektora:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Tada možemo izračunati duljinu luka pomoću:

# L = int_ (1) ^ (ln2) t bb ul r '(t) | dt #

# int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4)

Malo je vjerojatno da bismo mogli izračunati ovaj integral pomoću analitičke tehnike, pa umjesto toga koristeći Numeričke metode dobiti aproksimaciju:

# L ~~ 2.42533 t (5dp)

Dužina luka je negativna zbog donje granice #1# biti veći od gornje granice # Ln2 #