Koji je najbolji način pronalaženja sqrt (13) bez korištenja kalkulatora?

Odgovor:

Predložio bih Newtonovu metodu, iako nisam spreman tvrditi da je to lakše nego pogoditi i provjeriti, a zatim prilagoditi pogodak.

Obrazloženje:

Newtonova metoda je iterativna metoda aproksimacije. (Radi zbog računice, ali ovo pitanje je postavljeno u algebri, pa ostavimo to na miru.)

Napravite prvu procjenu. U vašem primjeru, recimo # x_1 = 3 #

Sljedeća aproksimacija je: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Drugim riječima, podijelite #13# prema trenutnoj aproksimaciji i prosječnoj vrijednosti u posljednjoj aproksimaciji.

poznavanje # X_n #, pronašli smo #x_ (n + 1) # po:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Tako dobivamo: # x_1 = 3 #

Pronaći # X_2 #:

#13/3 = 4.33#

Prosjek naše trenutne aproksimacije, #3# i kvocijent #4.33# je #3.67#

Tako # x_2 = 3,67 #

Pronaći # X_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

Prosjek naše trenutne aproksimacije, #3.67# i kvocijent #3.54# je #3.61#

Tako # x_3 = 3,61 #

Da, nekad je to bilo dosadno obavljanje izračuna.

Odgovor:

Postoji (možda nije dobro poznata) metoda za pronalaženje kvadratnog korijena broja koji sam pokušao pokazati u nastavku.

Obrazloženje:

Počnite kao da postavljate dugu podjelu (ali imajte na umu odsutnost djelitelja). Broj je podijeljen u blokove od 2 znamenke s toliko parova nula nakon decimalnog zareza koliko želite pisati. Decimalnu točku treba pisati izravno iznad decimalne točke broja za koji pokušavate pronaći kvadratni korijen (čini se da sam izgubio svoju).

Odlučite se za najveću znamenku čiji kvadrat nije veći od para prvih znamenki vrijednosti s kojom radite i unesite ih kao što je prikazano ispod

Pomnožite broj iznad crte s brojem lijevo od okomite crte i oduzmite ovaj proizvod od vrijednosti iznad njega.

Kopirajte sljedeći par znamenki kao sufiks na prethodni ostatak.

Udvostručite vrijednost iznad crte i dopustite sufiksnu znamenku (tako da u ovom slučaju 3 postaje nešto između 60 i 69, ali još nije određeno).

Odredite najveću znamenku koja se, kada se koristi kao sufiksna znamenka na lijevoj strani, a zatim koristi za množenje rezultirajuće vrijednosti, nije veća od radne vrijednosti (u ovom slučaju ne veća od 400).

Pomnožite, oduzmite, srušite sljedeći par znamenki.

Udvostručite vrijednost s vrha i pišite s razmakom za sufiksnu znamenku lijevo od radnog područja.

Nastavite postupak kako je dolje navedeno:

Molim; ako bilo tko može pružiti jednostavnija objašnjenja o tome kako raditi ovaj proces, učinite to.

Odgovor:

Umjesto pisanja dugog komentara Jimovom, evo 'drugog' odgovora.

Pronaći #sqrt (n) #, ponavljajte svoje aproksimacije pomoću:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Obrazloženje:

Obično to koristim s 'neprikladnim' frakcijama da izvučem niz aproksimacija, zaustavivši se kada mislim da imam dovoljno značajnih znamenki, a zatim dugim dijeljenjem dobivenih cijelih brojeva.

Alternativno, ako samo želim kvadratni korijen do 4 značajne znamenke ili tako, počinjem s razumnom 2-znamenkasti aproksimacijom i obavljam jedan ili dva koraka.

Pokušavam zapamtiti kvadrate #2# brojčanih brojeva. Tako u slučaju #13# Moram to zapamtiti #36^2 = 1296# je vrlo blizu #1300#, Dakle #36# dobro se približava #sqrt (1300) #.

Sljedeća aproksimacija bi bila #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Stoga #sqrt (13) ~ = 3.6056 #