Dokaz da je N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) je cijeli broj?

Odgovor:

Uzeti u obzir # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Ovo ima jedan pravi korijen koji jest #6# također poznat kao # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Obrazloženje:

Razmotrimo jednadžbu:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Koristeći Cardanovu metodu da je riješimo, neka #t = u + v #

Zatim:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Ukloniti termin u # (U + v) *, dodajte ograničenje # Uv = 7 #

Zatim:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Pomnožite pomoću # U ^ 3 # i preuredite da biste dobili kvadratno mjesto # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

po kvadratnoj formuli, to ima korijene:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (bijelo) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (bijelo) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (bijelo) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Budući da je ovo Real i derivacija je simetrična u # U # i # # V, možemo koristiti jedan od tih korijena za # U ^ 3 # a drugi za # V ^ 3 # zaključiti da je stvarna nula od # T ^ 3-21t-90 # je:

# t_1 = korijen (3) (45 + 29sqrt (2)) + korijen (3) (45-29sqrt (2)) #

ali nalazimo:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Stvarna nula od # T ^ 3-21t-90 # je #6#

Tako # 6 = korijen (3) (45 + 29sqrt (2)) + korijen (3) (45-29sqrt (2)) #

#COLOR (bijeli) () #

Fusnota

Da bih pronašao kubičnu jednadžbu, koristio sam Cardanovu metodu unatrag.

Odgovor:

#N = 6 #

Obrazloženje:

Izrada #x = 45 + 29 sqrt (2) # i #y = 45-29 sqrt (2) # zatim

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

tako

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

ili poziv #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # imamo

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

s # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # i #z = 6 # je korijen tako

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #