Kako integrirati sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Odgovor:

#int, sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Obrazloženje:

Budući da je lakše nositi se samo s jednim #x# ispod kvadratnog korijena, dovršavamo kvadrat:

# 2 x ^ + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4 x-x ^ 2 + 4 + 4x + k #

# K = -4 #

# 2 x ^ + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int, sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Sada moramo napraviti trigonometrijsku zamjenu. Koristit ću hiperboličke trigonometrijske funkcije (jer sekantni integrali obično nisu jako dobri). Želimo koristiti sljedeći identitet:

# Blackjack ^ 2 (theta) -1-sinh ^ 2 (theta) #

Da bismo to učinili, želimo # (X + 2) ^ 2-4cosh ^ 2 (theta) #, Možemo to riješiti #x# da bismo dobili ono što nam treba:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

Integrirati s poštovanjem # Teta #, moramo pomnožiti s izvedenicom od #x# s poštovanjem # Teta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int, sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta)

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta)

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta)

Sada možemo koristiti identitet # Blackjack ^ 2 (theta) -1-sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta)

Sada koristimo identitet:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (blackjack (2 theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Mogli bismo napraviti eksplicitnu u-zamjenu za # 2cosh (2 theta) #, ali je prilično očito da je odgovor #sinh (2 theta) #:

# = Sinh (2 theta) -2theta + C #

Sada moramo poništiti zamjenu. Možemo to riješiti # Teta # dobiti:

# Theta = blackjack ^ 1 ((x + 2) / 2) *

To daje:

#sinh (2cosh ^ 1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ 1 ((x + 2) / 2) + C #