Na vrhu četiri pravokutne stijenke visine h imamo krov poluvalja radijusa r i visinu r. Imamo 200 pm ^ 2 plastične folije koja će se koristiti u konstrukciji ove konstrukcije. Koja je vrijednost r koja omogućuje maksimalnu glasnoću?

Odgovor:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Obrazloženje:

Dopustite mi da ponovim pitanje koliko ga razumijem.

Pod uvjetom da je površina ovog objekta # 200pi #, maksimizirajte glasnoću.

Plan

Znajući površinu, možemo predstavljati visinu # # H kao funkcija radijusa # R #, tada možemo prikazati volumen kao funkciju samo jednog parametra - radijusa # R #.

Ovu funkciju treba maksimalno iskoristiti # R # kao parametar. To daje vrijednost # R #.

Površina sadrži:

4 zidovi koji tvore bočnu površinu paralelopipeda s obodom baze # 6R # i visinu # # H, koje imaju ukupnu površinu # 6rh #.

1 krov, pola bočne površine cilindra radijusa # R # i visine # R #, koja ima područje od #pi r ^ 2 #

2 strane krova, polukružnici radijusa # R #, čija je ukupna površina. t #pi r ^ 2 #.

Ukupna površina objekta je rezultat

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Znajući da je to jednako # 200pi #, možemo izraziti # # H u smislu # R #:

# 6rh + 2pir ^ 2-200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Volumen ovog objekta ima dva dijela: Ispod krova i unutar krova.

Ispod krova nalazi se paralelepiped s područjem baze # 2r ^ 2 # i visinu # # Hto je njegov volumen

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Unutar krova imamo pola cilindra s radijusom # R # i visinu # R #njegov je volumen

# V_2 = 1 / 2pip ^ 3 #

Moramo maksimizirati funkciju

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

koji izgleda ovako (ne na skali)

graf {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Ova funkcija dostiže svoj maksimum kada je derivat jednak nuli za pozitivan argument.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Na području #R> 0 # jednaka je nuli kada # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

To je radijus koji daje najveći volumen, s obzirom na površinu i oblik objekta.