Kako integrirati int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) koristeći djelomične frakcije?

Odgovor:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Obrazloženje:

Moramo pronaći # A, B, C # tako da

# 1 / (x ^ 2 (2 x-1)) = A / B x + / x ^ 2 + C / (2 x-1) #

za sve #x#.

Pomnožite obje strane po # X ^ 2 (2 x-1) # dobiti

# 1 = Ax (2 x-1) + B (2 x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) + 2 x ^ (2B-A) X-B #

Izjednačujući koeficijenti daju nam

# {(2A + C = 0), (2B-A-0), (- B = 1)} #

I tako imamo # A = -2, B = -1, C = 4 #, Zamjenjujući to početnom jednadžbom, dobivamo

# 1 / (x ^ 2 (2 x-1)) = 4 / (2 x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

Sada, integrirajte ga po terminu

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

dobiti

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Odgovor:

Odgovor je # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

Obrazloženje:

Razgradite u djelomične frakcije

# 1 / (x ^ 2 (2 x-1)) = A / ^ 2 x + B / x + C / (2 x-1) #

# = (A (2 x-1) + Bx (2 x-1) + C (x ^ 2),) / (x ^ 2 (2 x-1)) *

Denominatori su isti, usporedite brojnike

# 1 = A (2 x-1) + Bx (2 x-1) + C (x ^ 2) *

pustiti # X = 0 #, #=>#, # 1 = A #, #=>#, # A = -1 #

pustiti # X = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C-4 #

Koeficijenti od # X ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = -C / 2 = -4 / 2 = -2 #

Stoga, # 1 / (x ^ 2 (2 x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2 x-1) #

Tako, #int (1dx) / (x ^ 2 (2 x-1)) = - int (1dx) / x ^ 2-int (2dx) / x + int (4dx) / (2 x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #