Odgovor:
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #
# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #
Obrazloženje:
Postavite jednadžbu za varijable A, B, C
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x 1) ^ 2) dx #
Najprije riješimo za A, B, C
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #
LCD # = (X-1), (x + 1) ^ 2 #
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1))) / ((x-1), (x + 1) ^ 2) *
Pojednostaviti
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1), (x + 1) ^ 2) *
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x 1) (x + 1) ^ 2) *
Promijenite uvjete desne strane
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x 1) ^ 2) *
postavimo jednadžbe za rješavanje za A, B, C tako da uskladimo numeričke koeficijente lijevog i desnog pojma
# A + B = 4 "" #prva jednadžba
# 2A + C = 6 "" #druga jednadžba
# A-B-C = -2 "" #treća jednadžba
Simultano rješenje pomoću rezultata druge i treće jednadžbe
# 2A + A + C-C-B-6-2 #
# 3A-B = 4 "" #četvrta jednadžba
Koristeći sada prvu i četvrtu jednadžbu
# 3A-B = 4 "" #četvrta jednadžba
# 3 (4-B) -B = 4 "" #četvrta jednadžba
# 12-3B-B-4 #
# -4B = 4-12 #
# -4B = -8 #
# B-2 #
Riješite za korištenje # 3A-B = 4 "" #četvrta jednadžba
# 3A-2 = 4 "" #četvrta jednadžba
# 3A-4 + 2 #
# 3A-6 #
# A = 2 #
Riješite C pomoću # 2A + C = 6 "" #druga jednadžba i # A = 2 # i # B-2 #
# 2A + C = 6 "" #druga jednadžba
# 2 (2) C + = 6 #
# 4 + C = 6 #
# C-6-4 #
# C-2 #
Sada provodimo našu integraciju
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x 1) ^ 2) dx #
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x 1) ^ (- 2)) dx #
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1)) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #
Bog blagoslovi … Nadam se da je objašnjenje korisno.
