Funkcija brzine je v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 za česticu koja se kreće duž crte. Koliki je pomak (pokrivena neto udaljenost) čestice tijekom vremenskog intervala [-3,6]?

Odgovor:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Obrazloženje:

Površina ispod krivulje brzine jednaka je prijeđenoj udaljenosti.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (bijelo) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (plava) ((- 3)) ^ boja (crvena) (6) #

# = (boja (crvena) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (boja (plava) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Odgovor:

Izvorno pitanje je pomalo zbunjujuće jer implicira da je pomak i udaljenost ista stvar, što nije.

Postavio sam potrebnu integraciju za svaki pojedini slučaj.

Obrazloženje:

Ukupna udaljenost (skalarna veličina koja predstavlja stvarnu duljinu puta) daje se kao zbroj djelomičnih integrala

# X = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Ukupno premještanje (vektorska veličina koja predstavlja pravac povučen od početka do kraja gibanja) je dan u veličini sljedećim integralom

# | Vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) + dt int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3t-2), dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Graf funkcije brzine s vremenom jasno pokazuje zašto se ti integrali moraju postaviti kako bi se poštivala vektorska pravila i zadovoljile definicije.

graf {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}