Dva ugla jednakostraničnog trokuta nalaze se u (1, 3) i (9, 4). Ako je područje trokuta 64, koje su duljine stranica trokuta?

Odgovor:

Duljine stranica trokuta su:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Obrazloženje:

Udaljenost između dvije točke # (x_1, y_1) # i # (x_2, y_2) # daje se formulom udaljenosti:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Dakle, udaljenost između # (x_1, y_1) = (1, 3) # i # (x_2, y_2) = (9, 4) # je:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

koji je iracionalan broj malo veći od #8#.

Ako je jedna od ostalih strana trokuta bila iste duljine, tada bi maksimalna moguća površina trokuta bila:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

To ne može biti slučaj. Umjesto toga, druge dvije strane moraju biti iste duljine.

S obzirom na trokut sa stranama # a = sqrt (65), b = t, c = t #, možemo koristiti Heronovu formulu da pronađemo njezino područje.

Formula čaplja nam govori da je područje trokuta sa stranama #a, b, c # i poluproizvod #s = 1/2 (a + b + c) # daje:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

U našem slučaju polu-perimetar je:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

i Heronova formula nam govori da:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-kvadrat (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (bijelo) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Pomnožite oba kraja do #2# dobiti:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Kvadrat obostrano:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Pomnožite obje strane po #4/65# dobiti:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Prenesite i dodajte #65/4# na obje strane dobiti:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Uzmite pozitivan kvadratni korijen s obje strane da biste dobili:

#t = sqrt (266369/260) #

Dakle, duljine stranica trokuta su:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternativna metoda

Umjesto da koristimo Heronovu formulu, možemo navesti sljedeće:

S obzirom da je duljina jednakokračnog trokuta duljine:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Područje je # 64 = 1/2 "baza" xx "visina" #

Visina trokuta je:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

To je duljina simetrale okomice trokuta, koja prolazi kroz sredinu baze.

Druge dvije strane tvore hipotenuse dva pravokutna trokuta s nogama #sqrt (65) / 2 # i # (128sqrt (65)) / 65 #

Prema Pythagori, svaka od tih strana je dužine:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #